Enunciado

Um aquecedor elétrico delgado, dissipando 4000   W / m 2 , encontra-se imprensado entre duas placas, ambas com espessura de 25   m m , cujas superfícies expostas trocam calor por convecção com um fluido a T ∞   =   20 ° C e h   =   400   W / ( m 2   ·   K ) . As propriedades termofísicas do material das placas são ρ   =   2500   k g / m 3   ,   c   =   700   J / ( k g   ·   K ) e k   =   5   W / ( m   ·   K ) .

(a) Em coordenadas T   -   x , esboce a distribuição de temperaturas no regime estacionário para - L   ≤   x   ≤   L . Calcule os valores das temperaturas nas superfícies, x   =   ± L , e no plano central, x   =   0 . Identifique essa distribuição como Caso 1 e explique suas características marcantes.

(b) Considere condições nas quais haja uma perda de refrigerante e a existência de uma condição aproximadamente adiabática na superfície x   =   + L . Nas coordenadas T   –   x usadas na parte (a), esboce a distribuição de temperaturas no regime estacionário correspondente e indique as temperaturas em x   =   0   e ± L . Identifique essa distribuição como Caso 2 e explique suas características importantes.

(c) Com o sistema operando como descrito na parte (b), a superfície x   =   - L também passa por uma perda súbita de resfriamento. Essa situação perigosa ficou sem ser percebida por 15 minutos, quando então a potência do aquecedor foi desativada. Considerando a inexistência de perda de calor pelas superfícies das placas, qual será a distribuição de temperaturas nas placas, uniforme e em estado estacionário, após um longo período de tempo ( t   →   ∞ ) ? No seu esboço, mostre essa distribuição como Caso 3 e explique suas características marcantes. Sugestão: Aplique a exigência de conservação de energia com base em um intervalo de tempo, Equação 1.12b, com as condições inicial e final correspondendo aos Casos 2 e 3, respectivamente.

(d) Em coordenadas T   -   t , esboce o histórico da temperatura, nas posições das placas x   =   0 e ± L , ao longo do período transiente entre as distribuições dos Casos 2 e 3. Onde e quando a temperatura no sistema atinge um valor máximo?

Passo 1

Bora para mais uma questão? Aqui nós temos um aquecedor elétrico delgado, que dissipa 4000   W / m 2 , imprensado entre duas placas de 25   m m de espessura cujas superfícies sofrem convecção.

E nós queremos esboçar alguns gráficos em situações diferentes e encontrar a distribuição de temperaturas nas placas, uniforme e em estado estacionário, após um longo período de tempo ( t   →   ∞ ) . Então vamos lá!

Passo 2

Antes de tudo, nós vamos assumir que a condução é unidimensional, as propriedades são constantes, não ocorre geração volumétrica interna em placas e a resistência térmica é desprezível entre as superfícies do aquecedor e as placas.

Na letra (a) queremos a distribuição de temperaturas no regime estacionário para - L   ≤   x   ≤   L e os valores das temperaturas nas superfícies, x   =   ± L , e no plano central, x   =   0 . Como o sistema é simétrico, a potência do aquecedor resulta em fluxos de condução iguais através das placas. Aplicando um balanço de energia na superfície x   =   +   L , vamos determinar as temperaturas no ponto médio, x   =   0 , e na superfície exposta, x   +   L .

E ˙ e n t - E ˙ s a i = 0

q x ' ' + L - q c o n v ' ' = 0

Onde,

q x ' ' + L = q o ' ' 2

Então:

q o ' ' 2 - h T + L - T ∞ =     0

T 1 + L = q o ' ' 2 h + T ∞ = 4000 W m 2 2 × 400 W m 2 . K + 20 ° C = 25 ° C

Da Lei de Fourier para o fluxo de condução através da placa, encontramos T   ( 0 ) :

q x ' ' = q o ' ' 2 = k T 0 - T + L L

T 1 0 = T 1 + L + q o ' ' L 2 k = 25 ° C + 4000 W m 2 × 0,025 m 2 × 5 W m . K = 35 ° C

A distribuição de temperatura é mostrada nas coordenadas T - x abaixo e identificada como Caso 1. Os principais recursos da distribuição são sua simetria sobre o plano do aquecedor e sua dependência linear com a distância.

Passo 3

Na letra (b) queremos a distribuição de temperaturas no regime estacionário correspondente e indicar as temperaturas em x   =   0   e ± L . Então nesse caso 2 temos perda repentina de líquido de refrigeração com a existência de uma condição adiabática na superfície x = + L. Para esta situação, toda a energia do aquecedor será conduzida para o líquido de arrefecimento pela placa esquerda. No balanço de energia superficial e na aplicação da lei de Fourier, conforme feito na parte (a), encontramos:

T 2 - L = q o ' ' h + T ∞ = 4000 W m 2 400 W m 2 . K + 20 ° C = 30 ° C

T 2 0 = T 2 - L + q o ' ' L k = 30 ° C + 4000 W m 2 × 0,025 m 5 W m . K = 50 ° C

A distribuição de temperatura é mostrada nas coordenadas T - x do passo anterior e identificada como Caso 2. A distribuição é linear na placa esquerda, com o valor máximo no ponto médio. Como nenhum calor flui através da placa direita, o gradiente deve zero e esta placa também está na temperatura máxima. A temperatura máxima é mais alta que no caso 1, porque o fluxo de calor através da placa esquerda aumentou duas vezes.

Passo 4

Na letra (c) queremos a distribuição de temperaturas nas placas, uniforme e em estado estacionário, após um longo período de tempo ( t   →   ∞ ) . No caso 3, então, temos que a perda repentina de líquido refrigerante também ocorre na superfície x   =   - L .

Para esta situação, não há transferência de calor de nenhuma das placas, de modo que, por um período de 15 minutos, Δ t o , o aquecedor dissipa 4000   W / m 2 e depois é desativado. Para determinar a eventual e uniforme distribuição de temperatura no estado estacionário, vamos aplicar a conservação de energia necessária em intervalos de tempo.

A condição inicial corresponde à distribuição de temperatura do Caso 2, e a condição final será uma temperatura uniforme e elevada T f   =   T 3 representando o Caso 3. Usamos T ∞ como condição de referência para os termos de energia.

E e n t ' ' - E s a i ' ' + E g e n ' ' = Δ E s t ' ' = E f ' ' - E i ' '

Onde,

E e n t ' ' - E s a i ' ' = 0

E a energia elétrica dissipada é:

E g e n ' ' = q o ' ' Δ t o = 4000 W m 2 15 × 60 s = 3,600 × 10 6 J / m 2

Passo 5

Para a condição final,

E f ' ' = ρ c 2 L T f - T ∞ = 2500 k g m 3 × 700 J k g . K 2 × 0,025 m T f - 20 ° C  

E f ' ' = 8,75 × 10 4 T f - 20 J / m 2

Onde, T f = T 3 é a temperatura uniforme final, Caso 3. Para a condição inicial:

E i ' ' = ρ c ∫ - L + L T 2 x - T ∞ d x = ρ c ( ∫ - L 0 T 2 x - T ∞ d x + ∫ 0 + L T 2 0 - T ∞ d x )

Onde, T 2 x é linear para – L   ≤   x   ≤   0 e constante em T 2 ( 0 ) para 0   ≤   x   ≤   + L .

T 2 x = T 2 0 + T 2 0 - T 2 L x / L

T 2 x = 50 ° C + 50 - 30 ° C x / 0,025 m

T 2 x = 50 ° C + 800 x

Substituindo essa expressão na equação para a condição inicial, temos:

E i ' ' = ρ c ∫ - L 0 50 + 800 x - T ∞ d x + ∫ 0 + L T 2 0 - T ∞ d x

E i ' ' = ρ c 50 x + 400 x 2 - T ∞ x - L 0 + T 2 0 - T ∞ L

E i ' ' = ρ c L + 50 - 400 L - T ∞ + ( T 2 0 - T ∞ )

Substituindo os valores:

E i ' ' =   2500 k g m 3 × 700 J k g   ·   K × 0,025 m + 50 - 400 × 0,025 - 20 + 50 - 20 K

E i ' ' = 2,188 × 10 6 J / m 2

Voltando ao balanço de energia encontramos T f = T 3 :

3,600 × 10 6 J m 2 = 8,75 × 10 4 [ T 3 - 20 ] - 2,188 × 10 6 J / m 2

T 3 = 66,1 + 20 ° C = 86,1 ° C

A distribuição de temperatura é mostrada nas coordenadas T - x no passo 2 e identificada como Caso 3. A distribuição é uniforme e consideravelmente superior ao valor máximo para o Caso 2.

Passo 6

Na letra (d), e última \o/, queremos o histórico da temperatura, nas posições das placas x   =   0 e ± L , ao longo do período transiente entre as distribuições dos Casos 2 e 3. Que é demonstrado nas coordenadas T - t abaixo:

Repara que as temperaturas para os locais no tempo t   =   0 correspondente ao instante em que a superfície x   =   -   L se torna adiabática. Essas temperaturas correspondem à distribuição do caso 2. O aquecedor permanece energizado por mais 15 minutos e depois é desativado. A temperatura do ponto médio, T   ( 0 ,   t ) , é sempre o local mais quente e o valor máximo excede ligeiramente a temperatura final, T 3 .

Resposta

(a), (b) e (c):

(d)

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