Enunciado

Um rotor Savonius (Figura 6.29b) pode ser aproximado por dois semitubos abertos, como na Figura P7.96, montados em um eixo central. Se o arrasto de cada tubo é semelhante àquele da Tabela 7.2, deduza uma fórmula aproximada para a taxa de rotação Ω em função de

U, D, L e das propriedades do fluido (r, m).

Passo 1

E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!

Nessa questão, temos um rotor Savonius por dois semitubos de comprimento L e diâmetro D c ada e uma taxa de rotação Ω , submetido a um escoamento de um fluido de massa específica ρ e viscosidade μ , escoando a uma velocidade U como mostra a figura que ilustra a questão.

A questão quer que a gente encontre uma fórmula aproximada pra Ω com todas essas grandezas citadas.

Nos próximos passos vem comigo pra gente resolver essa questão juntos!

Passo 2

Nosso primeiro passo será encontrar uma expressão para o torque M .

Pra isso, vamos considerar o esquema abaixo:

Como vocês podem ver, temos um ângulo de varredura θ entre a barra e o eixo horizontal. Dessa maneira, temos a componente da velocidade U cos ⁡ θ da velocidade U agindo nos dois semitubos.

Além disso, também temos a velocidade devido à rotação da barra agindo dois semitubos que leva em conta a velocidade angular e o diâmetro D dos semitubos, ou seja Ω D .

Sendo assim, podemos fazer um balanço de momento, considerando D / 2 a linha de ação da força de arrasto dos dois semitubos:

M = D 2 C A 1 ρ 2 V R 1 2 D L - C A 2 ρ 2 V R 2 2 D L  

Passo 3

Agora, vamos achar os coeficientes de arrasto C A 1 e C A 2 .

Eles podem ser encontrados na Tabela 7.2, Página 493 , como na imagem:

Ou seja, C A 1 = 2,3 e C A 2 = 1,2 .

Além disso, devemos calcular as velocidades relativas V R 1 e V R 2 . Pra isso, devemos fazer um balanço entre as velocidades Ω   D /   2 e Ucos ⁡ θ , levando em consideração os sentidos delas.

Na primeira delas, as velocidades estão no mesmo sentido, e, portanto, V R 1 = Ucos ⁡ θ - Ω D . Na segunda, as velocidades têm sentido diferente, e, portanto,   V R 2 = Ucos ⁡ θ + Ω D .

Substituindo no nosso balanço:

M = D 2 C A 1 ρ 2 Ucos ⁡ θ - Ω D 2 ² D L - C A 2 ρ 2 Ucos ⁡ θ + Ω D 2 ² D L

Além disso, o torque é zero, e, portanto ficamos com:

Ucos ⁡ θ - Ω D 2 2 = C A 2 C A 1   Ucos ⁡ θ + Ω D 2 2

Passo 4

Vamo finalizar a questão agora.

Primeiro, vamos tirar a raiz quadrada de ambos os lados:

Ucos ⁡ θ - Ω D 2 = C A 2 C A 1 Ucos ⁡ θ + C A 2 C A 1 Ω D 2

Podemos então reagrupar os termos e isolar Ucos ⁡ θ :

Ucos ⁡ θ 1 - C A 2 C A 1 = Ω D 2 1 + C A 2 C A 1

Como achamos C A 1 e C A 2 no passo anterior, sabemos que 1,2 2,3 = 0,722

E agora, devemos entender que a média de

Além disso, pra fazer uma simplificação, devemos considerar que o torque médio de M = 0 se repete cada ângulo de 90 ° . Dessa maneira, definimos que a média de cos ⁡ θ variando de 0 a 90 ° , é 2 π = 0,64 .

Substituindo tudo isso na equação acima, vamos ter:

U 0,64 1 - 0,722 = Ω D 2 1 + 0,722

E agora, isolando e resolvendo pra Ω :

Ω = 0,21 U D

Pronto, matamos a questão juntos!

Resposta

A fórmula aproximada para a taxa de rotação é Ω = 0,21 U D

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