Enunciado

O que são equações constitutivas, e à que equação da mecânica dos fluidos elas são aplicadas?

Passo 1

Equações constitutivas são relações entre duas grandezas físicas que são específicas de materiais ou substâncias, quantificando respostas do material a estímulos externos. Podem ser expressas como proporcionalidades ou até mesmo como campos vetoriais ou tensoriais.

Para o caso específico da Mecânica dos Fluidos, equações constitutivas podem ser aplicadas na Equação de Cauchy, que trata da conservação do momento linear:

ρ D V → D t = ρ g → + ∇ → ∙ σ i j

No nosso caso, as equações constitutivas vão nos ajudar a relacionar os componentes do tensor σ i j com a pressão e a velocidade do fluido.

Para isso, devemos lembrar como agem as forças superficiais num elemento diferencial de fluido a partir do esquema ilustrativo abaixo:

A partir dessa imagem, a gente pode separar as forças superficiais agindo no fluido em movimento como forças de pressão e tensões viscosas, a partir da equação:

σ i j = σ x x σ x y σ x z σ y x σ y y σ y z σ z x σ z y σ z z = - P 0 0 0 - P 0 0 0 - P + τ x x τ x y τ x z τ y x τ y y τ y z τ z x τ z y τ z z

Sendo P a pressão e τ a tensão viscosa.

Nesse caso, já relacionamos o tensor com a pressão. Para relacionar com a velocidade, devemos lembrar da relação entre tensão de cisalhamento e velocidade a partir da seguinte equação constitutiva:

τ j i = - μ d v i d j

Sendo μ a viscosidade dinâmica do fluido e d v i / d j a taxa na qual a velocidade na direção i varia na direção j .

E é assim que as equações constitutivas podem ser aplicadas na Mecânica os Fluidos.

Resposta

Na Mecânica dos Fluidos, as equações constitutivas são relações entre o campo de tensores e o campo de pressões e de velocidade do problema, permitindo escrever a Equação de Cauchy em função da pressão e velocidade.

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