Enunciado

79 – Um satélite de comunicação esférico com 2,5   m de diâmetro está orbitando ao redor da Terra. A superfície externa do satélite tem emissividade de 0,75 e absortividade solar de 0,10 , enquanto a radiação solar incide sobre a espaçonave a uma taxa de 1000   W / m 2 . Considerando que o satélite é feito de material com condutividade térmica média de 5 W m ⋅ K e a temperatura no ponto médio é 0   ℃ , determine a taxa de geração de calor e a temperatura da superfície do satélite.

Passo 1

Escreva a equação diferencial unidimensional em estado estacionário com geração interna de calor.

1 r 2 d d r r 2 d T d r + e ˙ g e r k = 0

Aqui, a temperatura é  T , a direção radial é  r , a condutividade térmica é  k e a geração interna de calor é  e ˙ g e r .

Integre a equação.

1 r 2 d d r r 2 d T d r + e ˙ g e r k = 0

d d r r 2 d T d r = - r 2 e ˙ g e r k

r 2 d T d r = - e ˙ g e r k r 3 3 + C 1

d T d r = - e ˙ g e r k r 3 3 + C 1 r 2 … … … ( 1 )

Aqui, constante de integração é  C 1 .

Em r = 0 , d T d r = 0 .

Substitua a condição de limite e encontre o valor constante.

0 = - e ˙ g e r k × 0 + C 1 r 2

C 1 = 0

Substitua o valor de C 1 na equação (1).

d T d r = - e ˙ g e r k r 3 3 + 0

d T d r = - e ˙ g e r k r 3 3

Integre a equação (1).

T = - e ˙ g e r k r 2 6 + C 2 … … … ( 2 )

Aqui, constante de integração é  C 2

Em  r = 0 , a temperatura é igual à temperatura do ponto médio do satélite.

T = T 0

Substitua o valor de r e de T .

T 0 = - e ˙ g e r k 0 2 6 + C 2

C 2 = T 0

Substitua o valor de C 2 na equação (2).

T = - e ˙ g e r k r 2 6 + T 0

Encontre a temperatura na superfície usando a equação de distribuição de temperatura, fazendo a seguinte substituição: r = r 0   e   T = T s

T s = - e ˙ g e r k r 0 2 6 + T 0 … … … ( 3 )

Passo 2

Escreva a taxa de transferência de calor na superfície do satélite.

e ˙ g e r V = A s ε σ T s 4 - T e s p a ç o 4 - A s ∝ s q ˙ s o l

e ˙ g e r 4 3 π r 0 3 = A s ε σ T s 4 - T e s p a ç o 4 - A s ∝ s q ˙ s o l

Aqui, a emissividade é  ε , a absorção é  ∝ s , a área da superfície  A s e a temperatura do espaço  T e s p a ç o .

Substitua T e s p a ç o = 0 ,

e ˙ g e r 4 3 π r 0 3 = A s ε σ T s 4 - A s ∝ s q ˙ s o l

A s ε σ T s 4 = A s ∝ s q ˙ s o l + e ˙ g e r 4 3 π r 0 3

T s 4 = ( 4 π r 0 2 ) ) ∝ s q ˙ s o l + e ˙ g e r 4 3 π r 0 3 ( 4 π r 0 2 ) ε σ

T s 4 = ∝ s q ˙ s o l + e ˙ g e r r 0 3 ε σ

T s = ∝ s q ˙ s o l + e ˙ g e r r 0 3 ε σ 1 4 … … … ( 4 )

Passo 3

Substitua T s = - e ˙ g e r k r 0 2 6 + T 0 na equação (4).

- e ˙ g e r k r 0 2 6 + T 0 = ∝ s q ˙ s o l + e ˙ g e r r 0 3 ε σ 1 4

Substitua pelos valores fornecidos no enunciado, lembrando de transformar se necessário, as medidas para o sistema internacional.

- e ˙ g e r 5 ( 1,25 2 ) 6 + 273 = 0,10 × 1000 + e ˙ g e r × 1,25 3 0,75 × 5,67 × 10 - 8 1 4

273 - e ˙ g e r 0,05208 = 1 4,2525 × 10 - 8 0,4167 e ˙ g e r + 100 1 4

e ˙ g e r = 232,727   W / m 3

Portanto, a taxa de geração de calor é 232,727   W / m 3 .

Passo 4

Encontre a temperatura da superfície usando a equação (3).

T s = - e ˙ g e r k r 0 2 6 + T 0

Substituindo pelos valores conhecidos, temos:

T s = 232,727 5 × 1,25 2 6 + 273

= - 12,121 + 273

= 260,87   K

Portanto, a temperatura da superfície do satélite é  260,87   K .

Resposta

A taxa de geração de calor é 232,727   W / m 3 e temperatura da superfície do satélite é  260,87   K .

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