Enunciado

Uma seção de 50 m de comprimento de um tubo de vapor cujo diâmetro externo é de 10 cm passa por um espaço aberto a 15°C. A temperatura média da superfície externa do tubo é medida em 150°C. Se o coeficiente combinado de transferência de calor na superfície externa do tubo for 20   W   m 2 ·   K , determine:

  1. A taxa de perda de calor a partir do tubo de vapor;
  2. O custo anual dessa energia perdida se o vapor for gerado em um forno de gás natural com eficiência de 75% e o preço do gás natural for de U S $   0,52 t h e r m ( 1   t h e r m = 105.500   k J ) ;
  3. A espessura do isolamento de fibra de vidro 0,035   W   m 2 ·   K necessária para economizar 90% do calor perdido. Suponha que a temperatura do tubo permaneça constante a 150°C.

Passo 1

Bom galera, esta daqui vai ser um pouco diferente das anteriores.

Mas não se assustem, não é nada complicada !

Aqui nós estamos assumindo que há somente uma resistência a ser vencida para a transferência de calor, a resistência convectiva externa.

Então:

R T o t a l = R e x t = 1 h e x t × A e x t

A área externa da seção transversal é dada por:

A e x t = π d e x t L

A i = π ( 0,1   m ) ( 50   m ) = 15 , 7 1   m 2

R e x t = 1 2 0 W m 2 K × 15,71   m 2 = 0 , 0031 8 K W

Lembrando da fórmula do calor:

Q ˙ = T s u p - T e x t R e x t

Substituindo:

Q ˙ = 150 ° C - 15 ° C 0,00318 K W

Como a variação em graus Celsius e kelvin é a mesma:

Q ˙ = 42411,6   W

Beleza! Achamos nossa primeira resposta!

Passo 2

Para responder a letra b, ou melhor, o custo anual dessa energia perdida se o vapor for gerado em um forno de gás natural com eficiência de 75%, vamos precisar achar inicialmente a quantidade de calor perdida ao longo desse um ano.

Para isso vamos multiplicar a taxa de calor obtida anteriormente pelo tempo, em segundos:

∆ t = 1   a n o × 365   d i a s 1   a n o × 24   h 1   d i a × 3600   s 1   h = 31536000   s

Usamos a fórmula:

Q = Q ˙ ∆ t

Q = 42,412   k J s × 31536000   s = 1,337 × 10 9 k J

Assumimos que nós temos uma eficiência de somente 75%:

Q 75 % = 1,337 × 10 9 k J 0,75 = 1,783 × 10 9 k J

Para saber o custo dessa perda nós vamos ter que transformar kJ em therm, usando a transformação dada né?

Q 75 % = 1,783 × 10 9 k J × 1   t h e r m 105.500   k J = 16903   t h e r m  

Agooora sim!!

Se sabemos que o custo é de U S $   0,52 t h e r m :

C u s t o = 16903   t h e r m × U S $   0,52 t h e r m = U S $   8789,9

Portanto o custo da energia perdida será U S $   8789,9 .

Passo 3

Bom galera, a resistência do isolamento é dada pela resistência do cilindro:

R c i l i n d r o , i s o l = ln ⁡ r 3 r 2 2 π k i s o l L

Onde r 3 será o raio externo do isolamento e r 2 será o raio externo do tubo.

Nós teremos ainda a resistência anterior, a convectiva:

R T = R c i l i n d r o , i s o l + R e x t

Substituindo:

R T = ln ⁡ r 3 r 2 2 π k i s o l L + 1 h e x t × A e x t

Para responder esta pergunta nós vamos precisar relacionar esta nova resistência total ao calor, certo?

Então bora lá!!

Q ˙ 90 % = T s u p - T e x t ln ⁡ r 3 r 2 2 π k i s o l L + 1 h e x t × A e x t

A área externa agora leva em consideração o raio do isolamento, que chamamos de r 3 :

Q ˙ 90 % = T s u p - T e x t ln ⁡ r 3 r 2 2 π k i s o l L + 1 h e x t × π d e x t L

Substituindo:

Q ˙ 90 % = 150 ° C - 15 ° C ln ⁡ r 3 0,05 2 π 0,035   W   m ·   K ( 50   m ) + 1 2 π r 3 20   W   m 2 ·   K ( 50   m )

Como a taxa de transferência de calor deve cair 90%, então nós teremos uma transferência de apenas 10% da anterior:

0,1 × Q ˙ = Q ˙ 90 % = 135 ln ⁡ r 3 0,05 10,99 + 1 , 59 × 10 - 4   r 3

Ou melhor:

0,1 × 42411,6   W = 135 ln ⁡ r 3 0,0 5 10,99 + 1,59 × 10 - 4   r 3

ln ⁡ r 3 0,05 10,99 + 1,59 × 10 - 4   r 3 = 0,0318

Agora vamos isolar nosso raio:

r 3 = 6,92   c m

Não vão se animando galera, não acabou !!

Achamos o raio externo, mas sabemos que o raio do isolamento será o raio externo menos o raio do tubo:

L i s o l a n t e = 6,92   c m - 5   c m = 1,92   c m

E fechamos com chave de ouro galerinhaa!!

Resposta

  1. 42411,6   W ;
  2. U S $   8789,9 ;
  3. L i s o l a n t e = 1,92   c m .
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