Enunciado

Na Seção 8.2, nós deduzimos o perfil de velocidades entre placas paralelas (Eq. 8.5) usando um volume de controle diferencial. Em vez disso, seguindo o procedimento que nós usamos no Exemplo 5.9, deduza a Eq. 8.5 partindo das equações de Navier-Stoker (Eqs. 5.27). Assegure-se de fazer todas as considerações necessárias para a dedução.

Passo 1

Tá legal, a primeira coisa que devemos fazer é escrever as equações de Navier-Stokes, então, teremos:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Essa será nossa equação 1. Ainda temos:

ρ ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z = ρ g x - ∂ p ∂ x + μ ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2

ρ ∂ v ∂ t + u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y + w ∂ v ∂ z = ρ g y - ∂ p ∂ y + μ ∂ 2 v ∂ x 2 + ∂ 2 v ∂ y 2 + ∂ 2 v ∂ z 2

ρ ∂ w ∂ t + u ∂ w ∂ x + v ∂ w ∂ y + w ∂ w ∂ z = ρ g z - ∂ p ∂ z + μ ∂ 2 w ∂ x 2 + ∂ 2 w ∂ y 2 + ∂ 2 w ∂ z 2

Essas serão nossas equações 2, 3 e 4 respectivamente.

Passo 2

Beleza! Agora vem a parte das considerações, sabemos que nesse caso temos regime permanente, então podemos cancelar os termos dependentes do tempo das equações 2, 3 e 4. Temos também que o escoamento é incompressível, então ρ = c t e . Agora, sabemos que não teremos nenhuma variação ou alteração na direção z , de modo que o restante da sua equação 4, além do termo no tempo que já cancelamos, será zero. E também todos os outros termos nas equações 1, 2 e 3 que dependem de w serão iguais a zero.

Passo 3

Agora, assumindo escoamento totalmente desenvolvido, não teremos nenhuma variação de propriedade na direção x , com exceção da pressão, então todas as derivadas com relação a x podem ser igualadas a zero. Podemos também desconsiderar as forças de campo na direção x , de modo que g x = 0 . Então, até o momento, as equações se tornaram:

∂ v ∂ y = 0

ρ v ∂ u ∂ y = - ∂ p ∂ x + μ ∂ 2 u ∂ y 2

ρ v ∂ v ∂ y = ρ g y - ∂ p ∂ y + μ ∂ 2 v ∂ y 2

Dessa forma, através da primeria equação, vemos que devemos ter v constante, dessa forma, como sabemos que na parede temos v = 0 , então a velocidade v deve ser zero em qualquer outro ponto do escoamento. Com isso, podemos zerar os temros dependentes de v , e as equações se tornam:

0 = - ∂ p ∂ x + μ ∂ 2 u ∂ y 2

0 = ρ g y - ∂ p ∂ y

Então, na direção y teremos:

∂ p ∂ y = ρ g y

Passo 4

Agora, analisando a equação resultante da direção x , temos:

0 = - ∂ p ∂ x + μ ∂ 2 u ∂ y 2

Integrando uma vez em y , temos:

c 1 μ = - ∂ p ∂ x , y μ + ∂ u ∂ y

Integrando novamente em y , temos:

c 1 y μ + c 2 = - ∂ p ∂ x . y 2 2 μ + u

Agora, isolando u da equação, temos:

u = c 1 y μ + c 2 + ∂ p ∂ x . y 2 2 μ

Agora, para encontrar as constantes c 1 e c 2 vamos utilizar as condições de contorno conhecidas, são elas, a velocidade nula na parede:

y = 0 → u = 0

y = a → u = 0

Então a equação acima se torna:

0 = c 1 ( 0 ) μ + c 2 + ∂ p ∂ x . ( 0 ) 2 2 μ → c 2 = 0

E, para a segunda condição, temos:

0 = c 1 ( a ) μ + 0 + ∂ p ∂ x . ( a ) 2 2 μ → c 1 = - ∂ p ∂ x a

Então o perfil de velocidade será:

u = c 1 y μ + c 2 + ∂ p ∂ x . y 2 2 μ = y μ - ∂ p ∂ x a + 0 + ∂ p ∂ x . y 2 2 μ

Então a equação será:

u = ∂ p ∂ x . y 2 2 μ - ∂ p ∂ x . a y μ

Resposta

u = ∂ p ∂ x . y 2 2 μ - ∂ p ∂ x . a y μ

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