Enunciado

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A Segunda Lei de Newton é a base da equação diferencial de conservação do momento linear (a ser discutida no Capítulo 9). Em termos da aceleração material acompanhando uma partícula de fluido (Figura P7-19), nós escrevemos a Segunda Lei de Newton da seguinte maneira:

Ou então, dividindo ambos os lados pela massa m da partícula de fluido,

Escreva as dimensões primárias de cada termo aditivo da equação e certifique-se de que a equação seja dimensionalmente homogênea. Mostre todo o seu trabalho.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

As dimensões primárias da derivada do tempo ( ∂ / ∂ t ) são 1 / t e m p o . As dimensões primárias do gradiente o vetor tem 1 / c o m p r i m e n t o e as dimensões primárias da velocidade são o c o m p r i m e n t o / t e m p o .

Em resumo, somente relembramos as dimensões primárias de cada termo. Vamos agora ver se a equação é dimensionalmente homogênea.

Passo 2

Bem, relembrando, a equação é:

F m → =   ∂ V → ∂ t + ( V → ⋅ ∇ → ) V →    

Assim, cada termo na equação pode ser escrito em termos de dimensões primárias:

F m → = m a s s a ⋅ a c e l e r a ç ã o m a s s a = a c e l e r a ç ã o = m s 2   o u c o m p r i m e n t o t e m p o 2   ;

∂ V → ∂ t = m e t r o s e g u n d o ⋅ 1 s e g u n d o = m s 2   o u c o m p r i m e n t o t e m p o 2   ;  

V → ⋅ ∇ → V → = m e t r o s e g u n d o ⋅ 1 m e t r o m e t r o s e g u n d o = m s 2   o u c o m p r i m e n t o t e m p o 2

Resposta

Portanto, foi provado que a equação é dimensionalmente homogênea.

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