Enunciado

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No Capítulo 4 definimos a taxa de deformação volumétrica como a taxa do aumento de volume de um elemento fluido por unidade de volume (Figura P7-21). Em coordenadas cartesianas escrevemos a taxa de deformação volumétrica como

Escreva as dimensões primárias de cada termo aditivo e verifique se a equação é dimensionalmente homogénea. Mostre todo o seu trabalho.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

As dimensões primárias do derivado do material ( D / D t ) são 1 / t e m p o . As principais dimensões do volume são c o m p r i m e n t o ³ , e as dimensões primárias da velocidade são c o m p r i m e n t o / t e m p o .

Em resumo, somente relembramos as dimensões primárias de cada termo. Vamos agora ver se a equação é dimensionalmente homogênea.

Passo 2

Bem, relembrando, a equação é:

1 V D V D t = ∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z

Assim, cada termo na equação pode ser escrito em termos de dimensões primárias:

1 V D V D t = 1 c o m p r i m e n t o 3 c o m p r i m e n t o 3 t e m p o = 1 t e m p o   ;

∂ u ∂ x = c o m p r i m e n t o t e m p o ⋅ 1 c o m p r i m e n t o = 1 t e m p o   ;  

∂ v ∂ y = c o m p r i m e n t o t e m p o ⋅ 1 c o m p r i m e n t o = 1 t e m p o   ;  

∂ w ∂ z = c o m p r i m e n t o t e m p o ⋅ 1 c o m p r i m e n t o = 1 t e m p o   ;  

Resposta

Portanto, foi provado que a equação é dimensionalmente homogênea.

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