Enunciado

Seja a barreira de radiação cilíndrica do Exemplo 9.5 , com 0,12   m de diâmetro, que está instalada concêntrica a um tubo transportando vapor de água com 0,10   m de diâmetro. A distância gera um espaço de ar com L = 10   m m .

(a) Calcule a perda térmica por convecção, por unidade de comprimento do tubo, quando uma segunda barreira com 0,14   m de diâmetro é instalada e mantida a 35 ° C . Compare o resultado com aquele do exemplo para uma barreira.

(b) Na configuração com duas barreiras da parte (a), os espaços anulares de ar formados pelos tubos concêntricos têm L = 10   m m . Calcule a perda térmica por unidade de comprimento do tubo se as dimensões dos espaços forem L = 15   m m . Você espera que a perda térmica

aumente ou diminua?

Passo 1

Temos a seguinte situação: um tubo de água, de temperatura T 1 = 120 ° C , é revestido com duas camadas de ar para diminuir as perdas de energia por convecção. Sabendo que a temperatura da camada externa é T 3 = 35 ° C , devemos encontrar qual é a taxa de transferência de calor por comprimento do tubo e comparar este valor com o Exemplo 9.5 , em que só havia uma camada de revestimento. Vamos lá?

A transferência de calor só ocorre por convecção. Além disso, vamos assumir que não ocorre acúmulo ou perda de energia no sistema. Então:

q ' = 2 π k e f , 1 ln ⁡ D 2 D 1 T 1 - T 2 = 2 π k e f , 2 ln ⁡ D 3 D 2 T 2 - T 3

Precisaremos então calcular as condutividades efetivas de cada camada. Porém, as condutividades dependem da temperatura T 2 , que ainda não sabemos.

Para contornar isso, o que vamos fazer é estimar uma temperatura para T 2 e calcular as condutividades. Se escolhermos um valor adequado para T 2 então, o valor calculado por

q ' = 2 π k e f , 1 ln ⁡ D 2 D 1 T 1 - T 2

E

q ' = 2 π k e f , 2 ln ⁡ D 3 D 2 T 2 - T 3

Devem ser próximos e, pode-se dizer que correspondem à taxa de transferência de calor por unidade de comprimento de tubo.

Passo 2

Então, vamos começar estimando T 2 = 75 ° C . O próximo passo é estimar a temperatura média do ar na primeira camada:

T - m ,   1 = T 1 + T 2 2

T - m ,   1 = 120 + 75 2

T - m ,   1 = 97,5 ° C = 370,5   K

As propriedades do ar nesta temperatura são (Tabela A-4, apêndice A):

ρ 1 = 0,9442   k g / m 3

c p 1 = 1011   J / k g K

ϑ 1 = 23,17 × 10 - 6   m 2 / s

k 1 = 31,6 × 10 - 3   W / m K

P r 1 = 0,696

Vamos agora calcular o comprimento característico da primeira camada:

L c 1 = 2 ln ⁡ r 2 r 1 4 3 r 1 - 3 5 + r 2 - 3 5 5 3

L c 1 = 2 × ln ⁡ 0,06 0,05 4 3 0,05 - 3 5 + 0,06 - 3 5 5 3

L c 1 = 3,558 × 10 - 3   m

Agora que temos o comprimento característico podemos calcular o número de Rayleigh para esta camada:

R a C 1 = g β ∆ T L c 3 k ρ c p × ϑ

R a C 1 = 9,81 × 1 T - m ,   1 × ( T 1 - T 2 ) × 3,558 × 10 - 3 3 31,6 × 10 - 3 0,9442 × 1011 × 23,17 × 10 - 6

R a C 1 = 9,81 × 1 370,5 × ( 120 - 75 ) × 3,558 × 10 - 3 3 31,6 × 10 - 3 0,9442 × 1011 × 23,17 × 10 - 6

R a C 1 = 70

O próximo passo para obter a condutividade térmica efetiva da primeira camada será aplicar a relação:

k e f 1 k 1 = 0,386 × P r 1 0,861 + P r 1 1 4 × R a c 1 1 4

k e f 1 = 31,6 × 10 - 3 × 0,386 × 0,696 0,861 + 0,696 1 4 × 70 1 4

k e f 1 = 2,885 × 10 - 2   W / m K

Podemos agora calcular a taxa de transferência de calor por convecção natural:

q ' = 2 π k e f , 1 ln ⁡ D 2 D 1 T 1 - T 2

q ' = 2 × π × 2,885 × 10 - 2 ln ⁡ 0,12 0,1 120 - 75

q ' = 44,7   W / m

Passo 3

Iremos agora calcular a taxa de transferência de calor usando os dados da segunda camada de ar. Para começar, vamos calcular a temperatura média:

T - m ,   2 = T 2 + T 3 2

T - m ,   2 = 75 + 35 2

T - m ,   2 = 55 ° C = 328   K

As propriedades do ar nesta temperatura são (Tabela A-4, apêndice A):

ρ 2 = 1,0682   k g / m 3

c p 2 = 1008,1   J / k g K

ϑ 2 = 18,71 × 10 - 6   m 2 / s

k 2 = 28,4 × 10 - 3   W / m K

P r 2 = 0,703

Vamos agora calcular o comprimento característico para a segunda camada:

L c 2 = 2 ln ⁡ r 3 r 2 4 3 r 2 - 3 5 + r 3 - 3 5 5 3

L c 2 = 2 × ln ⁡ 0,07 0,06 4 3 0,06 - 3 5 + 0,07 - 3 5 5 3

L c 2 = 3,368 × 10 - 3   m

Agora que temos o comprimento característico podemos calcular o número de Rayleigh para esta camada:

R a C 2 = g β ∆ T L c 3 k ρ c p × ϑ

R a C 2 = 9,81 × 1 T - m ,   2 × ( T 2 - T 3 ) × 3,368 × 10 - 3 3 28,4 × 10 - 3 1,0682 × 1008,1 × 18,71 × 10 - 6

R a C 2 = 9,81 × 1 328 × ( 75 - 35 ) × 3,368 × 10 - 3 3 28,4 × 10 - 3 1,0682 × 1008,1 × 18,71 × 10 - 6

R a C 2 = 92,7

O próximo passo para obter a condutividade térmica efetiva será aplicar a equação:

k e f 2 k 2 = 0,386 × P r 2 0,861 + P r 2 1 4 × R a c 2 1 4

k e f 2 = 28,4 × 10 - 3 × 0,386 × 0,703 0,861 + 0,703 1 4 × 92,7 1 4

k e f 2 = 2,785 × 10 - 2   W / m K

A taxa de transferência de calor por convecção natural na segunda camada é:

q ' = 2 π k e f , 2 ln ⁡ D 3 D 2 T 2 - T 3

q ' = 2 × π × 2,785 × 10 - 2 ln ⁡ 0,14 0,12 75 - 35

q ' = 45,4   W / m

Como os valores encontrados foram próximos vamos assumir que a temperatura T 2 é aproximadamente 75 ° C . Então, a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento de tubo é um valor médio, em torno de q ' = 45   W .

Como podemos ver, este valor é menor que o encontrado no exemplo 9.5 , q ' = 100   W . Isto ocorre porque a adição de uma nova camada de ar causa uma nova resistência térmica e isso diminui a taxa de transferência de calor.

Passo 4

Vamos agora para o item (b). Agora as espessuras das camadas de ar são 15   m m ao invés de 10   m m . Então, os novos diâmetros são D 2 = 0,13   m e D 3 = 0,16   m . Vamos seguir um procedimento similar ao que fizemos no item (a).

O primeiro passo é estimar a temperatura T 2 . Vamos dizer que T 2 = 75 ° C , então, também teremos T - m ,   1 = 370,5   K e T - m ,   2 = 328   K .

Nosso próximo passo é determinar o novo comprimento característico da primeira camada:

L c 1 = 2 ln ⁡ r 2 r 1 4 3 r 1 - 3 5 + r 2 - 3 5 5 3

L c 1 = 2 × ln ⁡ 0,065 0,05 4 3 0,05 - 3 5 + 0,065 - 3 5 5 3

L c 1 = 6 × 10 - 3   m

Agora que temos o comprimento característico iremos calcular o número de Rayleigh:

R a C 1 = g β ∆ T L c 3 k ρ c p × ϑ

R a C 1 = 9,81 × 1 T - m ,   1 × ( T 1 - T 2 ) × 6 × 10 - 3 3 31,6 × 10 - 3 0,9442 × 1011 × 23,17 × 10 - 6

R a C 1 = 9,81 × 1 370,5 × ( 120 - 75 ) × 6 × 10 - 3 3 31,6 × 10 - 3 0,9442 × 1011 × 23,17 × 10 - 6

R a C 1 = 335,7

O próximo passo será obter a condutividade térmica efetiva da primeira camada:

k e f 1 k 1 = 0,386 × P r 1 0,861 + P r 1 1 4 × R a c 1 1 4

k e f 1 = 31,6 × 10 - 3 × 0,386 × 0,696 0,861 + 0,696 1 4 × 335,7 1 4

k e f 1 = 4,27 × 10 - 2   W / m K

Podemos agora calcular a taxa de transferência de calor por convecção natural:

q ' = 2 π k e f , 1 ln ⁡ D 2 D 1 T 1 - T 2

q ' = 2 × π × 4,27 × 10 - 2 ln ⁡ 0,13 0,1 120 - 75

q ' = 46   W / m

Passo 5

Vamos agora calcular a taxa de transferência de calor usando os dados da segunda camada. Começando pelo comprimento característico:

L c 2 = 2 ln ⁡ r 3 r 2 4 / 3 r 2 - 3 5 + r 3 - 3 5 5 3

L c 2 = 2 × ln ⁡ 0,08 0,065 4 3 0,065 - 3 5 + 0,08 - 3 5 5 3

L c 2 = 5,567 × 10 - 3   m

Nosso próximo passo é obter o número de Rayleigh:

R a C 2 = g β ∆ T L c 3 k ρ c p × ϑ

R a C 2 = 9,81 × 1 T - m ,   2 × ( T 2 - T 3 ) × 5,567 × 10 - 3 3 28,4 × 10 - 3 1,0682 × 1008,1 × 18,71 × 10 - 6

R a C 2 = 9,81 × 1 328 × ( 75 - 35 ) × 5,567 × 10 - 3 3 28,4 × 10 - 3 1,0682 × 1008,1 × 18,71 × 10 - 6

R a C 2 = 418,4

Vamos agora para a condutividade térmica efetiva:

k e f 2 k 2 = 0,386 × P r 2 0,861 + P r 2 1 4 × R a c 2 1 4

k e f 2 = 28,4 × 10 - 3 × 0,386 × 0,703 0,861 + 0,703 1 4 × 418,4 1 4

k e f 2 = 4,06 × 10 - 2   W / m K

A taxa de transferência de calor por convecção natural na segunda camada é:

q ' = 2 π k e f , 2 ln ⁡ D 3 D 2 T 2 - T 3

q ' = 2 × π × 4,06 × 10 - 2 ln ⁡ 0,16 0,13 75 - 35

q ' = 49,1   W / m

A taxa de transferência de calor médio neste caso é q ' = 47,5   W . Como podemos ver, houve um pequeno aumento no valor da taxa de transferência quando se aumenta a espessura das camadas de ar. Isto ocorre porque o aumento da espessura gera uma elevação da área de troca térmica, elevando a taxa de transferência.

Resposta

(a) q ' = 45   W / m ; este valor é menor que o encontrado no exemplo 9.5 , q ' = 100   W / m . Isto ocorre porque a adição de uma nova camada de ar causa uma nova resistência térmica e isso diminui a taxa de transferência de calor.

(b) q ' = 47,5   W / m .

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