Enunciado

Em um sistema de aquecimento distrital geotérmico, 10.000   k g / s de água quente devem ser levados a uma distância de 10   k m em um tubo horizontal. As perdas menores são desprezíveis, e a única perda de energia significativa é a proveniente do atrito no tubo. O fator de atrito pode ser tomado como 0,015. A especificação de um tubo de diâmetro maior reduziría a velocidade da água, a carga de velocidade, o atrito do tubo e, portanto, o consumo de energia. Mas um tubo maior também tería um custo inicial maior de compra e instalação. Em outras palavras, existe um diâmetro de tubo ideal que minimizará a soma do custo do tubo e do custo da energia elétrica futura.

Considere que o sistema funcionará 24   h / d i a , todos os dias durante 30 anos. Durante esse tempo o custo da eletricidade permanecerá constante a $ 0,06 / k W h . Suponha que o desempenho do sistema permaneça constante durante décadas (isso pode não ser verdadeiro, particularmente se água altamente mineralizada passar através da tubulação, e a formação de crosta for possível). A bomba tem uma eficiência geral de 80 % . O custo da compra, instalação e isolamento de um tubo de 10   k m depende do diâmetro D e é dado por C u s t o   = $ 10 6 D 2 onde D está em m . Considerando inflação e taxas de juros zero para simplificar, valor de recuperação e custo de manutenção zero, determine o diâmetro ideal do tubo.

Passo 1

Opaaa, mas que enunciado enorme!! Mas calma, vem comigo que a gente vai pegar todas as informações que a gente precisa!

Para começar, vamos olhar para a equação de energia e ver o que a gente pode simplificar!

Estamos considerando um escoamento permanente, desenvolvido e incompressível!

P 1 ρ g + α 1 V 1     2 2 g + z 1 + h b o m b a = P 2 ρ g + α 2 V 2     2 2 g + z 2 + h t u r b i n a + h L

Vamos considerar os pontos 1   e 2 como o início e o final da tubulação, mas como o que temos é um sistema de aquecimento, então a água deve sair de um ponto e voltar para esse mesmo ponto, portanto z 1   = z 2 , P 1 = P 2   e V 1 = V 2 como não temos nenhuma turbina h t u r b i n a = 0

Aplicando na equação de energia temos:

h b o m b a = h L

O que a equação de energia disse pra a gente é que o sistema precisa de uma bomba com potência suficiente para superar as perdas de carga, como o enunciado disse que as perdas menores devem ser desconsideradas, então essa perda é referente a perda por atrito!

Para um escoamento desenvolvido com comprimento L e diâmetro D , a perda de carga é dada por:

h L = f L D V 2 2 g

Passo 2

Agora vamos dar um passo pra trás e pensar no que a gente quer!

A gente quer achar o diâmetro ideal do tubo para reduzir os custos. Mas porque o diâmetro?

Porque a velocidade do escoamento é uma função do diâmetro do tubo, quando maior a velocidade maior as perdas por atrito e quanto maior o atrito maior vai ser a potência requerida da boba e com isso vai ter um maior gasto de eletricidade!

Então temos que encontrar uma expressão que relacione a potência e o diâmetro do tubo!

Sabendo que a potência requerida, ou seja, a potência mínima que a gente precisa, é dada por:

W ˙ b o m b a r e q = V ˙ Δ P

Esse Δ P é a perda de carga, a mesma que a gente encontrou h L a única diferença é que em h L a gente ta usando unidade de comprimento e em Δ P a unidade é pressão, para isso podemos fazer uma conversãozinha!

Δ P = h L ρ g

Agora podemos escrever a perda de carga em unidade de pressão:

Δ P = f L D ρ V 2 2

É mais fácil trabalhar com a vãzão do fluido ao invés de velocidade, então podemos usar a seguinte relação:

V ˙ = V × A

Substituindo:

Δ P = f L D ρ 2 V ˙ π D 2 4 2

Agora dando uma arrumadinha:

Δ P = f 8 L D 5 ρ V 2 ˙ π 2  

O enunciado nos deu a vazão mássica, m ˙ = 10000   k g / s , podemos descobrir a vazão volumétrica da seguinte forma:

V ˙ = m ˙ ρ = 10000 1000 = 10   m 3 / s

Lembrando que o fluido é a água, então consideramos ρ = 1000 k g / m 3 .

Passo 3

A potência que a gente falou lá em cima foi a potência que a gente precisa, mas precisamos considerar a eficiência da bomba para descobrir a sua potência nominal, para isso usamos essa fórmula:

W ˙ b o m b a = W ˙ b o m b a r e q η b o m b a

Como já vimos a potência requerida é dada por:

W ˙ b o m b a r e q = V ˙ Δ P

Substituindo W ˙ b o m b a r e q e Δ P :

W ˙ b o m b a = V ˙ η b o m b a × f 8 L D 5 ρ V ˙ 2 π 2  

Arrumando:

W ˙ b o m b a = f 8 L D 5 ρ V 3 ˙ η b o m b a π 2  

Agora vamos relembrar os dados que o enunciado deu, que são o fator de atrito ( f ) o comprimento ( L ) e a eficiência da bomba ( η b o m b a ):

f = 0,015

L = 10   k m = 10000   m

η b o m b a = 80 % = 0,8

E a vazão que descobrimos:

V ˙ = 10   m 3 / s

Substituindo:

W ˙ b o m b a = 0,015 × 8 10 4 D 5 10 3 10 3 0,8 π 2 = 1,52 × 10 8   W D 5

Ou:

W ˙ b o m b a = 1,52 × 10 5   k W D 5

Passo 4

Esse sistema funcionará 24 h / d i a por 30   anos. Para descombrir quanto de energia será usada por horas/ano

E b o m b a = W ˙ b o m b a × Δ t

Considerando um ano de 365 dias, calculamos quantas horas tem em um ano:

Δ t = 365 × 24 = 8760   h

Calculando:

E b o m b a = 1,52 × 10 5   k W D 5 × 8760 h a n o = 1,332 × 10 9 D 5 k W h / a n o

Passo 5

Ok, sabemos o tanto de energia que o sistema vai gastar por ano! Mas queremos saber o quanto isso vai custar por ano!

Para isso vamos o custo da eletrícidade, dado no enunciado, C e = $ 0,06 / k W h

E c u s t o = E b o m b a × C e

E c u s t o = 1,332 × 10 9 D 5 k W h a n o   × $ 0,06 k W h = 7,99 D 5 × 10 7 $ / a n o

Passo 6

Até agora só discutimos o custo da eletricidade, mas existe também o custo da instalação, que é dado no enunciado:

C u s t o   d a   i n s t a l a ç ã o = $ 10 6 D 2

O custo total deve ser o custo da eletricidade somado ao custo fixo.

C u s t o   t o t a l = E c u s t o + C u s t o   f i x o

Mas o que é esse custo fixo?!

Quando a gente vai fazer uma soma, precisamos que tudo esteja na mesma unidade, certo?

O custo da eletricidade ta na unidade de $ / a n o enquanto o custo da instalação esta apenas em $ , logo precisamos dividir o custo da instação pelo tempo útil de vida do sistema (30 anos) e podemos fazer a soma!

C u s t o   f i x o = $ 10 6 D 2 30   a n o s = 3.33   D 2 × 10 4   $ / a n o

Agora podemos escrever:

C u s t o   t o t a l = 7,99 D 5 10 7 + 3.33   D 2 10 4

Passo 7

Achamos uma relação entre custo e diâmetro, mas e agora?!

O que a gente quer é o custo minímo, certo?

Agora puxando da memória, lá de cálculo 1! Como a gente achava um ponto máximo ou mínimo de um gráfico?

É isso aiii, derivando e igualando a derivada a zero!!

d c u s t o   t o t a l d D = - 5 7,99 D 6 10 7 + 2 × 3.33   D   10 4 = 0

Vamos dar uma arrumadinha para calcularmos:

D 6 10 4 - 39,95 × 10 3 + 6.66   D 7 = 0

- 39,95 × 10 3 + 6.66   D 7 = 0

Isolando D :

D = 39,95 × 10 3 6.66 1 / 7 = 3,465

Ou:

D = 3,5   m

Uhuuuul!!! Achamos o diâmetro ideal!

Resposta

D = 3,5   m

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