Enunciado

O sistema de aquecimento geotérmico de um distrito envolve o transporte de água geotérmica a 110 ℃ a partir de um poço geotérmico para cidade com aproximadamente a mesma altitude e distância de 12   k m , a uma taxa de 1,5   m 3 / s , em tubos de aço inoxidável de 60   c m de diâmetro. As pressões do fluido no poço e no ponto de chegada na cidade devem ser as mesmas. As perdas menores são desprezíveis, devido à grande razão entre comprimento e diâmetro e ao número relativamente pequeno de componentes que causam perdas menores. a Considerando que a bomba e o motor têm eficiência de 65 % , determine o consumo de energia elétrica do sistema de bombeamento. b Determine o custo diário do consumo de energia do sistema se o custo unitário da eletricidade é U S $   0,06 / k W h . c A queda da temperatura da água geotérmica é estimada em 0,5 ℃ durante o longo escoamento. Determine se o aquecimento devido ao atrito durante o escoamento pode disfarçar a queda de temperatura.

Passo 1

Dados fornecidos:

Vazão volumétrica: V ˙ = 1,5   m 3 / s  

Diâmetro do tubo:   D = 0,6   m

Comprimento do tubo:  L = 12   k m = 12000   m

Temperatura de entrada da água geotérmica: T i = 110 ℃

Queda na temperatura: ∆ T = 0,5 ℃

Temperatura de saída: T e = 109,5 ℃

Custo unitário da eletricidade: U S $   0,06 / k W h

Passo 2

Temos que a temperatura média é:

T m é d i a = T i + T e 2 = 110 ℃ + 109,5 ℃ 2 = 109,75 ℃

Como T m é d i a é aproximadamente 110 ℃ , podemos obter as propriedades da água a 110 ℃ na tabela A-9.

Condutividade térmica: k = 0,682   W / m ⋅ K  

Viscosidade dinâmica: μ = 0,255 × 10 - 3   k g / m ⋅ s

Calor específico: c p = 4229   J / k g ⋅ K  

Densidade da água: ρ = 950,6   k g / m 3  

Passo 3

Temos que a área da seção transversal do tubo pode ser dada pela seguinte equação:

A c = π 4 D 2

Aqui, D é o diâmetro do tubo.

Podemos dizer também que a velocidade média do fluxo de água é dada pela seguinte equação:

V m é d i a = V ˙ A c

Aqui, V ˙ é a vazão volumétrica da água. Substituindo a área da seção transversal, temos:

V m é d i a = 4 V ˙ π D 2

Com a relação pra velocidade média da água encontrada, podemos calcular o número de Reynolds para o fluxo usando a seguinte ralação:

R e = ρ V m é d i a D μ

Aqui, μ é a viscosidade dinâmica da água. Substituindo a relação pra velocidade média da água, temos:

R e = 4 V ˙ ρ D π D 2 μ

R e = 4 V ˙ ρ π D μ

Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos no enunciado, temos:

R e = 4 × 1,5   m 3 / s × 950,6   k g / m 3 π × 0,6   m   × 0,255 × 10 - 3   k g / m ⋅ s

R e = 11.866.093,247

Passo 4

Podemos obter os valores de rugosidade equivalente de tubos na tabela. A rugosidade do tubo de aço inoxidável é:

ε = 0 , 00 2   m m = 2 × 10 - 6   m

Agora, calculamos o fator de rugosidade para tubos de ferro fundido da seguinte maneira:

ε D = 2 × 10 - 6   m 0,6   m = 3,33 × 10 - 6

Analisando o gráfico da Moody's para R e = 11.866.093,247 e ε D = 3,33 × 10 - 6 , podemos obter o fator de atrito f . Temos então que:

f = 0,0 174

Passo 5

Podemos calcular a queda de pressão no tubo com a seguinte relação:

∆ P = f L ρ V 2 2 D

Aqui, V é a velocidade média. Substituindo temos:

∆ P = f L ρ 2 D 4 V ˙ π D 2 2

∆ P = f L ρ 2 D 4 V ˙ π D 2 2

Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos no enunciado, temos:

∆ P = 0,0174 × 12000   m × 950,6   k g / m 3 2 × 0,6   m 4 × 1,5   m 3 / s π × 0,6   m 2 2

∆ P = 4 . 655 . 269 , 33   N / m 2

Portanto, a potência necessária para superar perdas de pressão é a seguinte:

W b o n b a = V ˙ ∆ P

W b o n b a = 1,5   m 3 / s × 4.655.269,33   N / m 2

W b o n b a = 6 . 982 . 903 , 99   W

W b o n b a = 6.982 , 90   k W

Passo 6

a) Temos que a eficiência da bomba pode ser calculada da seguinte forma:

η = W b o n b a P

P = W b o n b a η

Substituindo os termos da equação, temos:

P = 6.982,90   k W 0,65

P = 10 . 742 , 93   k W

Portanto, o consumo de energia elétrica do sistema de bombeamento é 10.742,93   k W .

Passo 7

b) Podemos calcular o custo da energia elétrica da seguinte forma:

C u s t o   d i á r i o = C u s t o h o r a × C o n s u m o × 24   h o r a s

Substituindo os dados na relação acima, temos:

C u s t o   d i á r i o = U S $   0,06 k W h × 10.742,93   k W × 24   h

C u s t o   d i á r i o = U S $   15 . 469 , 81

Portanto, o custo diário do consumo de energia é  U S $   15.469,81 .

Passo 8

c) Temos que o calor correspondente à queda de temperatura pode ser calculado da seguinte maneira:

Q ˙ = m ˙ c p ∆ T

A vazão mássica m ˙ pode ser dada em termos de vazão volumétrica ρ V ˙ . Substituindo temos:

Q ˙ = ρ V ˙ c p ∆ T

Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

Q ˙ = 950,6   k g / m 3 × 1,5   m 3 / s × 4229   J / k g ⋅ K × 0,5   K

Q ˙ = 3.015.065,55  

Resposta

a) P = 10.742,93   k W

b) C u s t o   d i á r i o = U S $   15.469,81

c) Q ˙ = 3.015.065,55

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