Enunciado

Uma casa construída sobre a beira de um rio deve ser resfriada no verão com a utilização da água fria do rio que escoa a uma temperatura média de 15 ℃ . Uma seção de 15   m de comprimento de um tubo circular de 20   c m de diâmetro passa através da água. O ar entra a 25 ℃ na seção do tubo submersa com velocidade de 3   m / s . Considerando que a superfície do duto esteja na temperatura da água determine a temperatura de saída do ar à medida que deixa a parte submersa do duto. Além disso, para um ventilador com eficiência global de 55 % , determine a potência do ventilador necessária para superar a resistência do escoamento na seção do duto.

Passo 1

Dados fornecidos:

Diâmetro do tubo:  D = 0,2   m

Comprimento do tubo:  L = 15   m

Temperatura média da água: T s = 15 ℃

Velocidade média do ar:  V m é d i a = 3   m / s

Eficiência geral do ventilador: η = 0,55  

A temperatura inicial do ar que entra no duto: T i = 25 ℃  

Passo 2

Podemos obter as propriedades do ar na tabela A-15 a 25 ℃ .

Densidade: ρ = 1,184   k g / m 3  

Calor específico:  c p = 1007   J / k g ⋅ K

Condutividade térmica: k = 0,02551   W / m ⋅ K  

Viscosidade cinemática: ν = 1,562 × 10 - 5   m 2 / s  

Viscosidade dinâmica: μ = 1,84 × 10 - 5   k g / m ⋅ s

Número Prandtl: P r = 0,7296  

Passo 3

Agora vamos calcular o número de Reynolds. Fazemos isso utilizando a seguinte relação:

R e = V m é d i a D ν

Aqui, ν é a viscosidade cinemática, V m é d i a é a velocidade média e D é o diâmetro do tubo. Substituindo os termos pelos dados fornecidos e calculados, temos:

R e = 3   m / s × 0,2   m 1,562 × 10 - 5   m 2 / s

R e = 38412,3

Como o número de Reynolds é superior a 10.000, o fluxo é turbulento.

Temos que os comprimentos de entrada podem ser dados da seguinte maneira:

L h ≈ L t

= 10 D

= 10 × 0,2   m = 2   m

O comprimento da entrada é menor que o comprimento total do fluxo.

Passo 4

Podemos usar a relação de Dittus-Boelter para obter o número de Nusselt. Assim temos:

N u = 0,023 R e 0,8 P r 0,3

Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

N u = 0,023 × 38412,3 0,8 0,7296 0,3

N u = 97,33

Com o número de Nusselt, podemos calcular o coeficiente de transferência de calor por convecção da seguinte maneira:

N u = h D k

h = N u k D

Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

h = 97,33 × 0,02551   W / m ⋅ K 0,2   m

h = 12,41   W / m 2 ⋅ K

Passo 5

Podemos obter a seguinte relação para fluxo volumétrico de ar:

V ˙ = V m é d i a A c

V ˙ = V m é d i a π D 2 4  

Aqui, A c é a área da seção transversal.

Com o fluxo volumétrico, podemos obter uma relação para o fluxo mássico de ar. Assim temos:

m ˙ = ρ V ˙

m ˙ = ρ V m é d i a π D 2 4

Podemos obter uma relação para a área da superfície do tubo da seguinte maneira:

A s = π D L

Agora, podemos então calcular a temperatura de saída usando a seguinte relação:

T e = T s - T s - T i exp ⁡ - h A s m ˙ c p

Aqui  T i é a temperatura do fluxo de entrada,  T s é a temperatura da superfície do tubo,  T e é a temperatura do fluxo de saída,  A s é a área da superfície,  h o coeficiente de transferência de calor e  m ˙ é a vazão mássica. Substituindo as relações encontradas temos:

T e = T s - T s - T i exp ⁡ - 4 h π D L ρ V m é d i a π D 2 c p

T e = T s - T s - T i exp ⁡ - 4 h L ρ V m é d i a D c p

Substituindo os termos pelos dados encontrados anteriormente e fornecidos no enunciado, temos:

T e = 15 - 15 - 25 exp ⁡ - 4 × 12,41 × 15 1,184 × 3 × 0,2 × 1007

T e = 15 + 10 × 0,353

T e = 18,53 ℃

Portanto, a temperatura de saída é 18,53 ℃ .

Passo 6

Podemos calcular o fator de atrito  f para calcular as perdas de pressão. Pela equação de Petukhou, tubos lisos para  3000 < R e < 5 × 10 6 o fator de atrito é dado pela seguinte equação:

f = 0,790 ln ⁡ R e - 1,64 - 2

Substituindo o número de Reynolds na equação, temos:

f = 0,790 ln ⁡ 38412,3 - 1,64 - 2

f = 0,02228

A perda de pressão no tubo pode ser dada pela seguinte relação:

∆ P = f L D ρ V m é d i a 2 2

Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

∆ P = 0,02228 × 15   m 0,2   m × 1,184   k g / m 3 × 3   m / s 2   2

∆ P = 8,9   N / m 2

O trabalho realizado pelo ventilador pode ser dado da seguinte forma:

W v e n t = V ˙ ∆ P

W v e n t = V m é d i a π D 2 4 ∆ P

Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

W v e n t = 3   m / s × π 0,2   m 2 4 × 8,9   N / m 2

W v e n t = 0 , 8391   W

Temos que a eficiência do ventilador pode ser calculada da seguinte forma:

η = W v e n t P

Assim, a potência necessária para o ventilador é

P = W v e n t η

Substituindo os termos da equação, temos:

P = 0,8391   W 0,55

P = 1,5257   W

Portanto, a entrada de energia necessária para superar a resistência ao fluxo na seção do duto é  1,5257   W .

Resposta

T e = 18,53 ℃

P = 1,5257   W

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