Enunciado

A solução das equações diferenciais completas para o movimento de ondas sem tensão superficial mostra que a velocidade da onda é dada por:

c = g λ 2 π   t g h 2 π y λ

Em que λ é o comprimento de onda e y é a profundidade do líquido. Mostre que quando λ / y ≪ 1 , a velocidade da onda torna-se proporcional a λ . No limite, como λ / y → ∞ , V w = g y . Determine o valor de λ / y para o qual V w > 0,99 g y . (Note que o correto é usar a tangente hiperbólica, e não a tangente normal como está na versão em português).

Passo 1

Tá legal, na primeira condição, quando temos:

λ y ≪ 1 → y λ → ∞

E, dessa forma:

t g h 2 π y λ = t g h ∞ = 1

Então, a equação para c se torna:

c = g λ 2 π

E, chamando g / 2 π de k , temos:

c = k λ

Então, c é proporcional a λ .

Passo 2

Agora, se tivermos:

λ y → ∞

Então, teremos:

y λ → 0

E, dessa forma, a tangente hiperbólica se torna:

tanh ⁡ 2 π y λ = 2 π y λ

Substituindo a expressão na equação para c , temos:

c = g λ 2 π   t g h 2 π y λ = g λ 2 π   2 π y λ → c = g y

Passo 3

Agora, queremos encontrar λ / y quando c = 0,99 g y , então, igualando essa expressão para c e aquela fornecida no enunciado, temos:

0,99 g y = g λ 2 π   t g h 2 π y λ

Elevando os dois lados ao quadrado, temos:

0,99 2 g y = g λ 2 π t g h 2 π y λ → 2 π 0,99 2 t g h 2 π y λ = λ y

Não conseguimos resolver essa equação sem a ajuda de uma calculadora ou um software específico, então, com a ajuda de uma calculadora, temos:

λ y = 25,4

Resposta

λ y = 25,4

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