Enunciado

Uma superfície horizontal, de comprimento L = 1,8   m e largura b = 0,9   m , está imersa em uma corrente de ar-padrão escoando a U = 3,2 m / s . Considere a formação de uma camada limite laminar e aproxime o perfil de velocidade como senoidal. Trace δ ,   δ * e τ w versus x / L para a placa.

Passo 1

Precisamos achar uma relação entre δ ,   δ * e τ w e x para conseguir traçar o gráficos que ele pediu.

O enunciado fala que temos um perfil de velocidade senoidal:

u U = s e n π 2 y δ

E também dá outras informações:

- comprimento da placa: L = 1,8   m

- largura: b = 0,9   m

- velocidade de corrente livre: U = 3,2   m / s

- ar-padrão: ρ = 1,21 k g / m 3 e μ = 1,81 ⋅ 10 - 5 N ⋅ s / m

Vamo começar!

Passo 2

Podemos usar a equação integral da quantidade de movimento:

τ w ρ = d U 2 θ d x + δ * U d U d x

Considerando U = c o n s t a n t e :

τ w ρ = d U 2 θ d x

E gente pode dizer que:

τ w = μ d u d y ,   y = 0

Sabendo que:

u = U s e n π 2 y δ

τ w = U μ π 2 δ cos ⁡ π 2 y δ

y = 0 ∴ τ w = U μ π 2 δ cos ⁡ 0 = U μ π 2 δ

Substituindo isso na equação integral:

U μ π 2 δ = ρ d U 2 θ d x ∴ μ π 2 δ = ρ d U θ d x

Passo 3

Aí a gente precisa lembrar que:

θ = ∫ 0 δ u U 1 - u U d y

θ = ∫ 0 δ s e n π 2 y δ 1 - s e n π 2 y δ d y = ∫ o δ s e n π 2 y δ - s e n 2 π 2 y δ d y

Separando a integral em duas, usando uma substituição simples e a identidade s e n 2 x = 1 - cos ⁡ 2 x 2 ,   resolvemos a integral:

θ = - π + 4 δ 2 π

Aí substituindo na nossa equação:

μ π 2 δ = ρ d U θ d x ∴ μ π 2 δ = - π + 4 ρ 2 π d δ d x  

Passo 4

Isso é uma equação diferencial separável, então vamos separar as variáveis e resolver:

μ π 2 δ = - π + 4 ρ 2 π d δ d x

δ d δ = μ π 2 - π + 4 ρ d x

∫ δ d δ = ∫ μ π 2 - π + 4 ρ d x ∴ δ 2 2 = μ π 2 x - π + 4 ρ + C

Ih como a gente acha esse C aí? A gente pode assumir que em x = 0 , δ = 0 .

Resolvendo esse PVI, a gente vê que C = 0

Então:

δ 2 2 = μ π 2 x - π + 4 ρ

Isolando δ :

δ = 2 μ π 2 x - π + 4 ρ

Achamos a primeira expressão!

Passo 5

Para achar uma expressão para τ w vamos usar:

τ w = U μ π 2 δ

Mas a gente sabe quem é δ :

τ w = U μ π 2 - π + 4 ρ 2 μ π 2 x

Passo 6

Para finalizar, vamos achar δ * usando sua definição:

δ * = ∫ 0 δ 1 - u U d y = ∫ 0 δ 1 - s e n π 2 y δ d y = δ 1 - 2 π

δ * = 0,363 δ

δ * = 0,363 2 μ π 2 x - π + 4 ρ

Conseguimos!

Passo 7

Agora só montar os gráfico com as informações do enunciado e as expressões que achamos:

Resposta

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