Enunciado

A solução exata de Blasiu envolve a resolução de uma equação não linear, Eq 9.11, com condições iniciais e de contorno dadas pela Eq 9.12. Desenvolva, em uma planilha no software Excell, um procedimento para obter uma solução numérica para este sistema de equações. A planilha deve apresentar colunas para η ,   f ,   f ' ,   f ' ' contendo linhas com valores calculados destas três últimas para passos numéricos adequados de η (por exemplo, 1000 linhas de valores de f ,   f ' ,   f ' ' para passos de η de 0,01 , com η variando de 0 a 10 , para ir além dos dados da Tabela 9.1). Os valores de f e f ' para a primeira linha são iguais a zero (conforme as condições iniciais, Eq. 9.12); um valor inicial estimado é necessário para f ' ' (tente 0,5). Os valores subsequentes das linhas para f ,   f ' ,   f ' ' podem ser obtidos dos valores da linha anterior usando, por exemplo, o método de Euler de diferenças finitas da Seção 5.5 para aproximação de derivadas de primeira ordem (e a Eq 9.11). Finalmente, uma solução pode ser encontrada usando as funções do “Resolvedor Excel (Excel’s Goal Seek or Solver) para alterar o valor inicial de f ' ' até que f ' seja igual a 1 para grandes valores de η   (por exemplo, η = 10 , condição de contorno da Eq. 9.12). Trace um gráfico dos resultados. Nota: O método de Euler é relativamente grosseiro, e seu uso levará a resultados com erros de aproximadamente 1 % .

Passo 1

Vamos reunir todas essas equações aí que ele falou:

2 f ' ' ' + f ⋅ f ' ' = 0

η = 0 ∴ f = f ' = 0

η → ∞ ∴ f ' = 1

A gente pode lembrar também que:

u U = f ' η ,     η = y U ν x

O enunciado quer a que a gente ache a nossa própria solução numérica para essa equação usando o método de Euler. Vamos começar!

Passo 2

Para começar, a gente vai criar as colunas e colocar os valores de η entre 0 e 10 , com passos de h = 0,01 .

Depois seguindo as condições de contorno, colocamos f 0 = f ' 0 = 0 .

Por fim, vamos chutar f ' ' 0 = 0,05 .

Aí a gente vai ter essa tabela, até agora:

(a tabela está cortada, mas η vai até 10)

Passo 3

Agora precisamos usar o método de Euler para completar a tabela. Como vai funcionar?

Ele tem essa carinha:

f n + 1 ≈ f n + h   f n '

f n + 1 ' ≈ f n ' + h f n ' '

f n + 1 ' ' ≈ f n ' ' + h f n ' ' '

Mas da nossa equação diferencial, a gente tem que:

2 f ' ' ' + f ⋅ f ' ' = 0

f ' ' ' = - f f ' ' 2

Então a gente pode escrever que:

f n + 1 ' ' ≈ f n ' ' + h - f f ' ' 2

Como h = 0,01 , a gente vai usar essas três equações para completar a tabela a partir da primeira linha:

f n + 1 ≈ f n + 0.01   f n '

f n + 1 ' ≈ f n ' + 0,01 f n ' '

f n + 1 ' ' ≈ f n ' ' + 0,01 - f n f n ' ' 2

Nossa tabela fica assim (o comecinho dela):

Passo 4

A gente precisa encontrar o verdadeiro valor de f ' ' ( 0 ) usando o “Resolvedor Excel”. Aí nós usamos a condição de contorno:

f ' η → ∞ = 1

No nosso caso:

f ' 10 = 1

É só a gente dizer que quer que o valor da célula que f ' ( 10 ) fique igual a 1 , variando a célula que está f ' ' ( 0 ) .

Fazendo isso, a gente fica com essa tabelinha:

Passo 5

Agora com os dados certinhos, só gerar o gráfico:

Resposta

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