Enunciado

Um tanque esférico de 50 cm de diâmetro está cheio com água com gelo a 0 °C. O reservatório é de casca fina, e a temperatura pode ser considerada a mesma temperatura do gelo. O reservatório é exposto ao ar ambiente a 20 °C com coeficiente de transferência de calor de 12   W / m 2 ⋅ K . O reservatório deve ser coberto com isolante de lã de vidro ( k = 0,05   W / m ⋅ K ) para diminuir em 90% o calor ganho pela água com gelo. A espessura exigida da camada de isolamento é:

  1. 4,6 cm
  2. 6,7 cm
  3. 8,3 cm
  4. 25,0 cm
  5. 29,6 cm

Passo 1

Nosso ponto de partida é calcular a taxa de perda de calor inicial. A questão nos diz para assumir que a temperatura na superfície do tanque é a temperatura do gelo. Isto é, 0 °C.

Portanto vamos calcular esta taxa agora. Sabendo que o calor absorvido pelo tanque é exatamente o valor da convecção, temos:

Q ˙ = h A Δ T

Q ˙ = 12 ⋅ π D 2 ⋅ Δ T

Q ˙ = 12 ⋅ π ⋅ 0,5 2 ⋅ 20 - 0 = 188,5   W

Se iremos diminuir em 90% o calor adicionado, então, a nova taxa de transferência de calor será;

Q ˙ n o v o = 0,10 ⋅ Q ˙ = 18,85   W

Passo 2

Agora, vamos trabalhar com esta nova taxa de transferência de calor. Para isto, utilizaremos a noção de circuitos térmicos.

Após a adição de uma camada isolante, nosso circuito será composto de duas resistências: a de convecção e a de condução na camada isolante. Calculando estas resistências, temos:

R i s o l a n t e = r 2 - r 1 4 π r 1 r 2 k = e 4 π r 1 r 1 + e k = e 4 ⋅ π ⋅ 0,25 0,25 + e ⋅ 0,05 = 6,366 e ( 0,25 + e )   K / W

R c o n v = 1 h A = 1 h π D 2 = 1 12 ⋅ π ⋅ 0,5 2 = 0 , 1061   K / W

Agora, vamos utilizar a lei de Fourier para determinarmos a camada de isolante. Portanto,

Q ˙ n o v o = Δ T R c o n v + R i s o l a n t e

18,85 = 20 - 0 0 , 1061 + 6,366 e ( 0,25 + e )

6,366 e ( 0,25 + e ) = 0,9549

6,67 e = 0,25 + e

e = 0,044   m = 4,4   c m

Por questões de arredondamento, o valor diferiu um pouco da resposta da questão, a qual é 4,6 cm, isto é, letra a).

Resposta

Letra a).

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