Enunciado

Um tanque retangular, usado para fornecer água em uma experiência de número de Reynolds, tem profundidade de 230   m m , largura W = 150   m m e comprimento L = 230   m m . O número de Reynolds da água do tubo de saída (diâmetro interno D = 6,35   m m ) é R e = 2000 , quando o tanque está metade cheio. A válvula de admissão de água para o tanque está fechada. Determine a taxa de variação do nível da água nesse instante.

Passo 1

Primeiro, temos que encontrar as propriedades da água na temperatura de 20   ℃ . Temos que a viscosidade cinemática da água a 20   ℃ é v =   m 2 / s .

A equação para o número de Reynolds é:

R e = D V 0 v

Podemos reescrever explicitando a velocidade:

V 0 = v R e D

Aqui, o número de Reynolds é  R e , o diâmetro interno é  D e a velocidade é  V 0 . Com os valores fornecidos no enunciado, podemos encontra a velocidade substituindo na equação.

V 0 = 1 × 10 - 6   m 2 / s × 2000 6,35 × 10 - 3   m

V 0 = 0,314   m / s

Passo 2

Podemos fazer um diagrama esquemático do volume de controle da seguinte maneira:

Onde a parte pontilhada representa o volume de controle.

Passo 3

Podemos aplicar a equação da conservação de massa para o volume de controle. Usando a equação básica, temos:

∂ ∂ t ∫ C V   ρ d ∀ + ∫ C S   ρ V → ⋅ d A → = 0

Temos que é o volume total do volume de controle ou seja, W L h + π D 2 4 L . Temos também que A é a área total da superfície de controle, ou seja π D 2 4 . Assim, a resolução da integral fica:

∂ ∂ t ρ W L h + ρ π D 2 4 L 1 + ρ V 0 π D 2 4 = 0

Como a densidade é constante, ela pode ser retirada da equação.

ρ ∂ ∂ t W L h + π D 2 4 L 1 + ρ V 0 π D 2 4 = 0

∂ ∂ t W L h + π D 2 4 L 1 + V 0 π D 2 4 = 0

Passo 4

Resolvemos agora a derivada parcial.

∂ ∂ t W L h + π D 2 4 × ∂ ∂ t ( L 1 ) + V 0 π D 2 4 = 0

Como o comprimento é constante, sua derivada é zero.

∂ ∂ t W L h + π D 2 4 × 0 + V 0 π D 2 4 = 0

∂ ∂ t W L h + V 0 π D 2 4 = 0

W L ∂ h ∂ t + V 0 π D 2 4 = 0

W L ∂ h ∂ t = - V 0 π D 2 4

∂ h ∂ t = - V 0 π D 2 4 W L

Passo 5

Para encontrar a taxa de variação do nível da água, basta substituir os dados fornecidos no enunciado na equação encontrado no passo 4. Assim temos:

V 0 = 0,314   m / s

D = 6,35   m m = 0,00635   m

W = 150   m m = 0,150   m

L = 230   m m = 0,230   m

Substituindo:

∂ h ∂ t = - π 0,314   m / s   0,00635   m 2 4 0,150   m 0,230   m

∂ h ∂ t = - π 0,314   m / s   0,00635   m 2 4 0,150   m 0,230   m

∂ h ∂ t = - 2 , 88 × 10 - 4   m / s  

∂ h ∂ t = - 0 , 288   m m / s  

Portanto, a taxa de alteração do nível da água no tanque é  - 0,288   m m / s .

Resposta

∂ h ∂ t = - 0,288   m m / s  

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

No sistema da figura, tem-se um único fluido incompressível de v = 10 - 4 m 2 / s e ρ = 1000k g / m 3 .Qual é o número de R e nas seções 1 e 4 ?Qual é a velocidade média na seção ( 2 ) ( m / s ) ?Qual
O filtro de admissão de combustível de uma certa máquina é formado por um elemento poroso com forma de tronco de cone. O com 10L / s . A distribuição de velocidades na face superior é linear com v m á
O campo de velocidades de um escoamento é dado por v x = 3 y e v y = 2 .O movimento é variado ou permanente?Determinar o campo das acelerações.Determinar os módulos da velocidade e aceleração no ponto
The Keystone Pipeline in the chapter opener photo has amaximum proposed fl ow rate of 1.3 million barrels ofcrude oil per day. Estimate the Reynolds number andwhether the fl ow is laminar. Assume that
A rocket motor is operating steadily, as shown in Fig. P3.34.The products of combustion flowing out the exhaust nozzleapproximate a perfect gas with a molecular weight of 28.For the given conditions c