Enunciado

Um tanque rígido de volume v = 1,0   m 3 é enchido inicialmente com ar a 20°C e p 0 = 100   k P a . No tempo t = 0 , uma bomba de vácuo é ligada e evacua ar a uma vazão volumétrica constante, Q = 80   L / m i n (independentemente da pressão). Considere um gás perfeito e um processo isotérmico. (a) Estabeleça uma equação diferencial para esse escoamento. (b) Resolva essa equação para t em função de (v, Q, p, p0). (c) Calcule o tempo em minutos para baixar a pressão no tanque a p = 20   k P a . Sugestão: sua resposta deve ficar entre 15 e 25 min.

Passo 1

Para essa questão vamos começar escrevendo um balanço de massa para o tanque, lembrando que não teremos geração nem consumo de massa, além de não ter entrada de massa no sistema:

A c ú m u l o   d e   m a s s a   d e n t r o   d o   s i s t e m a = - S a í d a   d e   m a s s a   d o   s i s t e m a

d m d t = - m S ˙

Lembrando que m ˙ = ρ Q

d ρ v d t = - ρ Q S

Como o tanque é rígido o seu volume será constante em relação ao tempo, entretanto, como o material no tanque é o ar, a sua densidade irá variar com o tempo, sendo assim:

v * d ρ d t = - ρ Q S

d ρ ρ = - Q S v d t

Agora que reescrevemos nossa igualdade temos uma equação diferencial. Para resolvê-la basta integrar os dois lados:

∫ ρ 0 ρ d ρ ρ = ∫ 0 t - Q S v d t

∫ ρ 0 ρ d ρ ρ = - Q S v ∫ 0 t d t

ln ⁡ ρ ρ 0 ρ = - Q S v t 0 t

ln ⁡ ρ - ln ⁡ ρ 0 = - Q S v t

ln ⁡ ρ ρ 0 = - Q S v t

Como o processo é isotérmico e o ar é para ser considerado um gás perfeito, logo, ρ ρ 0 = p p 0 , e lembrando que a vazão de saída é igual a vazão dada no problema ( Q S = Q ):

ln ⁡ p p 0 = - Q v t

Isolando t:

t = - v Q ln ⁡ p p 0

Passo 2

Agora é só substituir os valores para achar o tempo para p = 20   k P a . É só lembrar de converter a vazão Q = 80 L m i n = 0,08 m 3 m i n .

t = - 1 0,08 ln ⁡ 20 100 = 20,12   m i n

Resposta

Letra a) d ρ ρ = - Q S v d t ;

Letra b) t = - v Q ln ⁡ p p 0 ;

Letra c) 20,12   m i n .

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