Enunciado

Na Figura P3.168, ambos os fluidos estão a 20°C. Se V 1 = 0,52   m / s   e as perdas são desprezadas, qual deve ser a leitura do manômetro, h, em cm?

Passo 1

Vamos lá pessoal, para começar, como todo bom exercício de MecFlu, vamos listar os dados que o exercício deu para a gente:

Temperatura de 20°C para ambos os fluidos;

Perdas desconsideradas;

V 1 = 0,52   m / s ;

D 1 = 75   m m ;

D 2 = 25   m m ;

ρ á g u a = 1030 k g m 3 ;

ρ m e r c = 13550 k g m 3 ;

g = 9,81   m / s 2 .

Passo 2

Bem, agora que sabemos o que temos, precisamos saber o que o exercício quer o que precisamos para achar isso. O exercício deixa claro que quer a altura h no manômetro e para isso vamos precisar da pressão do sistema em 1, ou seja, p 1 .

Nós vamos conseguir achar p 2 utilizando a equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2 do sistema, ou seja, podemos escrever:

p 1 + ρ 2 V 1 2 + ρ g z 1 = p 2 + ρ 2 V 2 2 + ρ g z 2

No nosso sistema, podemos adotar que z 1 = 0   e z 2 = 3,0   m . Também podemos assumir que p 2 = 0 . Substituindo as considerações e os valores na equação vamos ter:

p 1 + 1030 2 0,52 2 = 1030 2 V 2 2 + 1030 * 9,81 * 3,0

p 1 = 515 * V 2 2 + 30312,9 - 139,256 = 515 * V 2 2 + 30173,644

Mas aí tem um problema, vamos precisar achar V 2 , então bora lá!!

Passo 3

Para encontrar V 2 só vamos precisar aplicar a equação da continuidade, ou seja, igualar a vazão volumétrica em 1 e 2:

Q 1 = Q 2

A vazão pode ser escrita como:

ρ 1 V 1 A 1 = ρ 2 V 2 A 2

Onde ρ é a massa específica e A a área da seção transversal. Como o fluido é o mesmo em 1 e 2, temos que ρ 1 = ρ 2 = ρ .

A área da seção transversal pode ser reescrita como:

A = π R 2 = π D 2 4

Onde D é o diâmetro da seção transversal.

Sendo assim, a gente pode escrever a equação da continuidade como:

ρ V 1 π D 1 2 4 = ρ V 2 π D 2 2 4

V 1 D 1 2 = V 2 D 2 2

Isolando V 2 :

V 2 = V 1 D 1 D 2 2

Agora é só substituir os valores. Lembrando que os dois diâmetros estão em milímetros não vamos precisar converter (já que estão sendo divididos, logo, a unidade do termo vai se tornar adimensional):

V 2 = 0,52 75 25 2 = 4,68   m / s

Passo 4

Agora podemos finalmente encontrar p 1 :

p 1 = 515 * 4,68 2 + 30173,644

p 1 = 41453,38   P a

Por fim, só precisamos encontrar h .

Como a gente já sabe, a pressão p 1 é a pressão manométrica, ou seja, é a diferença entre a pressão atmosférica e a pressão em um determinado local, quer dizer que p 1 já é a pressão medida pelo manômetro ou, melhor ainda, a pressão hidrostática entre o mercúrio e a água. Escrevendo isso como uma equação:

p 1 = ρ m e r c - ρ á g u a g h

Substituindo os valores:

41453,38 = 13550 - 1030 * 9,81 * h

Isolando h e resolvendo as contas:

h = 0,338   m

Resposta

Para a resposta final, só não pode esquecer que o exercício pediu h em centímetros, logo:

h = 0,338   m = 33,8   c m

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