Enunciado

Um tanque de sedimentação para abastecimento municipal de água tem 2,5 m de profundidade, e a água a 20°C escoa continuamente a 35 cm/s. Calcule o comprimento mínimo do tanque para garantir que todo o sedimento (d = 2,55) caia até o fundo, considerando diâmetros de partículas maiores que (a) 1 mm e (b) 100 μ m .

Passo 1

E aí, gente!! Tudo bem? Então vou mostrar pra vocês que mecânica dos fluidos não é nem de longe um bicho de 7 cabeças (nem de perto também)! Primeiro passo é DESENHAR!!!

(a) Vamos lá, essa questão é mais trabalhosa do que difícil!!!! Então bora que bora!!

Primeira coisa que vou fazer é pedir pra você pegar as propriedades da água

ρ = 998   k g / m ³

μ = 0,001   k g / ( m . s )

O enunciado nos diz que as partículas viajam a 35 cm/s, mas elas precisam cair numa determinada velocidade, certo?

Passo 2

As partículas viajam na velocidade da corrente de fluido que está passando (sem arrasto na horizontal) e cai na velocidade V f com arrasto igual ao peso líquido da lindona da partícula na água, que é dada por:

W l í q u i d = d - 1 ρ w g π 6 D 3

W l i q u i d = F a r r a s t o = C D ρ w 2   V f 2 π 4 D 2

V f 2 = 4 d - 1 g D 3 C D  

Onde sabemos que C D = f R e D que pode ser visto na figura 7.16b do livro. Sabemos também que L = U h V f onde h = 2,5 m.

Passo 3

(a) Para D = 1   m m  

V f 2 = 4 2,55 - 1 9,81 0,001 3 C D

Vamos começar aqui nosso processo de iteração, chutando C D = 1 e ver no gráfico da figura 7.16 que temos um Reynold em torno de 140, se liga!

Aí com esse valor de C D calculamos o valor de V f = 0,14   m / s . Você agora com esse valor, recalcularia Reynold e leria na figura acima qual é o novo valor de C D . Se bater próximo de 1 que foi o valor que você chutou inicialmente, já temos um processo convergido.

No caso, o processo convergiu com o chute de C D = 1 .

Com isso conseguimos calcular o valor de L = U h V f = 0,35 2,5 0,14 = 6,3   m

Passo 4

(a) Para D = 1 00   μ m  

V f 2 = 4 2,55 - 1 9,81 0,00 0 1 3 C D

Vamos começar aqui nosso processo de iteração, chutando C D = 36 e ver no gráfico da figura 7.16 igual fizemos no passo anterior. Cara, observa que agora sua partícula é menor ainda, isso quer dizer que provavelmente o Reynold dessa parada abaixou já muito mais, então eu iria começaria a leitura na curva de lei de Stokes, o que daria pra gente um Re = 0,75 mais ou menos!

V f = 0,0075 m s

L = 0,35 2,5 0,0075 = 120   m

Note que esse resultado faz muito sentido, uma vez que a partícula é menor, ela vai demorar mais para sedimentar e por isso precisamos ter um comprimento maior.

Resposta

  1. 6,3   m
  2. 120   m
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