Enunciado

Considere os paraquedistas acrobatas, voando acima do nível do mar. Em geral, eles saltam a cerca de 2.400 m de altitude e realizam queda livre de peito, com braços e pernas abertos, até abrirem seus paraquedas a cerca de 600 m. Eles levam cerca de 10 s para atingirem velocidade terminal. Calcule quantos segundos de queda livre eles aproveitam se essa queda for (a) de peito, com braços e pernas abertos, ou (b) de pé, verticalmente. Suponha um paraquedista com peso total de 979 N.

Passo 1

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Nessa questão, devemos calcular quantos segundos paraquedistas têm de queda livre se saltarem de 2400   m de altura e abrirem seus paraquedas a 600   m de altura, sabendo que levam 10   s para atingir a velocidade terminal enquanto estão em queda livre.

Vamos calcular esse tempo para duas situações diferentes: a primeira se os paraquedistas estiverem na horizontal, e a segunda se saltarem verticalmente.

Pra isso, vamos procurar as áreas de arrasto na Tabela 7.3 na página 495, como mostra a figura:

Para uma pessoa na horizontal, teremos áreas de arrasto C A , H A = 0,836   m ² e C A , V A = 0,112   m ² para o paraquedista na horizontal e na vertical, respectivamente.

Além disso, para o ar nas altitudes de 2400   m e 600   m teremos, respectivamente, as massas específicas de aproximadamente 0,9570   k g / m ³ e 1,1677   k g / m ³ . Além disso, a viscosidade para as duas altitudes será de 1,8 × 10 - 5 P a ∙ s .

Por fim., vamos lembrar que para achar a velocidade terminal temos que igualar a força de arrasto ao peso do paraquedista, que é 979   N .

Passo 2

Em primeiro lugar, vamos resolver a letra (a), considerando o paraquedista na horizontal.

Para a altitude de 2400   m , teremos a seguinte velocidade terminal:

V t = 2 P ( C D A ) ρ =   2   979   N 0,836   m ²   0,9570   k g / m ³ = 49,47   m / s

Para a altitude de 600   m , teremos a seguinte velocidade terminal:

V t = 2 P ( C D A ) ρ =   2   979   N 0,836   m ² 1,1677   k g / m ³ .   = 44 , 7 8   m / s

Com essas duas velocidades médias, vamos tirar uma média pra considerar a velocidade terminal atingida entre as duas altitudes:

V t , m é d = 49,47   m / s + 44,78   m / s 2 = 47,12   m / s

Pros primeiros 10   s , vamos assumir que a queda tem uma velocidade média de 49,47 m s 2 = 24,73   m / s . Ou seja, essa seria a velocidade média da queda antes de atingir a velocidade terminal.

Assim, se multiplicarmos essa velocidade média pelo tempo de queda de 10   s , teremos que a velocidade terminal será atingida 277   m abaixo do ponto inicial.

Ou seja, atingiremos a queda livre em h = 2400   m - 277   m = 2123   m .

Fazendo uma rápida análise dimensional, poderemos descobrir o tempo de queda livre:

∆ t = h V t , m é d           = 45   s

Passo 3

Pra finalizar a questão, vamos resolver a letra (b), considerando o paraquedista na vertical.

Para a altitude de 2400   m , teremos a seguinte velocidade terminal:

V t = 2 P ( C D A ) ρ =   2   979   N 0,112   m ²     0,9570   k g / m ³ = 135,15   m / s

Para a altitude de 600   m , teremos a seguinte velocidade terminal:

V t = 2 P ( C D A ) ρ =   2   979   N 0,112   m ²   1,1677   k g / m ³ .   = 122,35   m / s

Com essas duas velocidades médias, vamos tirar uma média pra considerar a velocidade terminal atingida entre as duas altitudes:

V t , m é d = 135,15   m / s + 122,35   m / s 2 = 128,75   m / s

Pros primeiros 10   s , vamos assumir que a queda tem uma velocidade média de 135,15   m s 2 = 67,75   m / s . Ou seja, essa seria a velocidade média da queda antes de atingir a velocidade terminal.

Assim, se multiplicarmos essa velocidade média pelo tempo de queda de 10   s , teremos que a velocidade terminal será atingida 677,5   m abaixo do ponto inicial.

Ou seja, atingiremos a queda livre em h = 2400   m - 677,5 = 1722,5 m .

Fazendo uma rápida análise dimensional, poderemos descobrir o tempo de queda livre:

∆ t = h V t , m é d           = 13 , 4   s

Pronto, matamos a questão juntos!

Resposta

(a) O tempo de queda livre é ∆ t = 45   s

(b) O tempo de queda livre é ∆ t = 13,4   s

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