Enunciado

Ar, a P = 1   a t m e uma temperatura T m ,   e n t = 100 ° C , entra em um tubo de parede delgada (diâmetro D = 5   m m ) e longo ( L = 2   m ). Um fluxo térmico constante é aplicado ao ar a partir das paredes do tubo. A vazão mássica do ar é m ˙ = 135 × 10 - 6   k g / s .

(a) Se a temperatura da superfície do tubo em sua saída for de T s ,   s a i = 160 ° C , determine a taxa de transferência de calor entrando no tubo. Determine as propriedades a T = 400   K .

(b) Se o comprimento do tubo da parte (a) for reduzido para L = 0,2   m , como as condições do escoamento na saída do tubo seriam afetadas? O valor do coeficiente de transferência de calor na saída do tubo seria maior, igual ou menor do que o coeficiente de transferência de calor na parte (a)?

(c) Se a vazão da parte (a) for aumentada por um fator igual a 10 , haveria diferença nas condições do escoamento na saída do tubo? O valor do coeficiente de transferência de calor na saída do tubo seria maior, igual ou menor do que o coeficiente de transferência de calor na parte (a)?

Passo 1

Vamos começar esquematizando o problema. Temos ar escoando por um tubo a uma vazão de m ˙ = 135 × 10 - 6   k g / s . Sabemos que o ar entra a uma temperatura de T m ,   e n t = 100 ° C e que a temperatura do tubo na saída é de T s ,   s a i = 160 ° C e que há um fluxo térmico constante a partir da parede do tubo ( q ' ' = q / A s = c t e ) .

A partir destas informações e, usando as propriedades do ar T = 400   K , devemos encontrar a taxa de transferência de calor q que atravessa o tubo. Vamos lá?

Para começar vamos reunir as propriedades do ar a 400   K (tabela A-4, apêndice A):

μ = 230,1 × 10 - 7   N s / m 2

P r = 0,69

k = 33,8 × 10 - 3   W / m K

c p = 1014   J / k g K

Vamos considerar que só há transferência de calor por convecção. Então, na saída do tubo:

q ' ' = h ( T s ,   s a i - T m ,   s a i )

Como ainda não sabemos a temperatura de saída do ar e não calculamos o coeficiente convectivo ainda não podemos aplicar esta equação.

Outra consideração que faremos é que não há perda de energia para o ambiente. Ou seja, todo o calor fornecido ao tubo será transferido ao ar. Então:

q ' ' = q A s

q ' ' = m ˙ c p T m ,   s a i - T m ,   e n t π D L

Como o fluxo térmico é constante, podemos igualar as duas expressões, ficando com:

h T s ,   s a i - T m ,   s a i = m ˙ c p T m ,   s a i - T m ,   e n t π D L

h T s ,   s a i - h T m ,   s a i = m ˙ c p T m ,   s a i π D L - m ˙ c p T m ,   e n t π D L

h T s ,   s a i + m ˙ c p T m ,   e n t π D L = m ˙ c p π D L + h T m ,   s a i

T m ,   s a i = h T s ,   s a i + m ˙ c p T m ,   e n t π D L m ˙ c p π D L + h

Agora que temos uma expressão para a temperatura de saída do ar nossos próximos passos serão calcular o coeficiente convectivo na saída da tubulação; usar o valor de h nesta expressão para obter a temperatura de saída do ar; e, para finalizar o item (a) iremos usar uma das relações de fluxo para calcular a taxa de transferência de calor. Vamos lá?

Passo 2

O primeiro passo para encontrarmos h é o cálculo do número de Reynolds. Para um duto cilíndrico:

R e D = 4 m ˙ π D μ

R e D = 4 × 135 × 10 - 6 π × 5 × 10 - 3 × 230,1 × 10 - 7

R e D = 1494

Como R e D < 2300 , temos um escoamento em regime laminar.

Vamos agora verificar se temos um escoamento plenamente desenvolvido no final da tubulação:

x f , d = 0,05 R e D P r D

x f , d = 0,05 × 1494 × 0,69 × 5 × 10 - 3

x f , d = 0,26   m

Como L > x f ,   d , podemos concluir que o escoamento está plenamente desenvolvido.

Para escoamento laminar plenamente desenvolvido e fluxo térmico constante:

N u D = 4,36

h D k = 4,36

h = 4,36 k D

h = 4,36 × 33,8 × 10 - 3 5 × 10 - 3

h = 29,5   W / m 2 K

Aplicando este valor na nossa fórmula de temperatura de saída do ar:

T m ,   s a i = h T s ,   s a i + m ˙ c p T m ,   e n t π D L m ˙ c p π D L + h

T m ,   s a i = 29,5 × 160 + 135 × 10 - 6 × 1014 × 100 π × 5 × 10 - 3 × 2 135 × 10 - 6 × 1014 π × 5 × 10 - 3 × 2 + 29,5

T m ,   s a i = 152,3 ° C

Para finalizar o item (a), resta ainda calcular a taxa de transferência de calor. Como escrevemos anteriormente:

q = m ˙ c p T m ,   s a i - T m ,   e n t

q = 135 × 10 - 6 × 1014 × 152,3 - 100

q = 7,16   W

Passo 3

Para o item (b) temos que o comprimento do tubo foi diminuído para L = 0,2   m e, devemos verificar se essa modificação tem interferência no valor do coeficiente convectivo na saída da tubulação.

Como calculamos no item (a):

x f , d = 0,26   m

Então, teremos L < x f ,   d e, portanto, o escoamento não é plenamente desenvolvido. Para esta situação, podemos estimar o valor do número de Nusselt utilizando a figura 8.10 do capítulo 8. Então, começamos calculando o valor da relação:

x / D R e D P r = 0,2 / ( 5 × 10 - 3 ) 1494 × 0,69 = 0,04

Aplicando este valor na curva de fluxo térmico constante devemos obter N u D ≈ 5 .

N u D = h D k = 5

h = 5 k D

h = 5 × 33,8 × 10 - 3 5 × 10 - 3

h = 33,8   W / m 2 K

Então, se o valor de L for diminuído para 0,2   m teremos um aumento no valor do coeficiente convectivo local na saída do tubo.

Passo 4

Por último, o item (c). Devemos avaliar o que acontece com o coeficiente convectivo local tivermos uma vazão 10 vezes maior.

Vamos começar calculando R e D :

R e D = 4 m ˙ π D μ

R e D = 4 × 135 × 10 - 5 π × 5 × 10 - 3 × 230,1 × 10 - 7

R e D = 14940,2

Como R e D > 2300 , desta vez temos escoamento turbulento.

O número de Nusselt para escoamento turbulento em dutos cilíndricos é:

N u D = h D k = 0,023 R e D 0,8 P r 0,4

h = k D × 0,023 R e D 0,8 P r 0,4

h = 33,8 × 10 - 3 5 × 10 - 3 × 0,023 × 14940,2 0,8 × 0,69 0,4

h = 292,9   W / m 2 K

E assim, também teremos um aumento do coeficiente convectivo local se a vazão for aumentada.

Resposta

(a) q = 7,16   W .

(b) Se o valor de L for diminuído para 0,2   m , o escoamento não estará plenamente desenvolvido ao final da tubulação e, por isso, teremos um aumento no valor do coeficiente convectivo local na saída do tubo.

(c) Se a vazão for aumentada por um fator de 10 , o escoamento passa a ser turbulento, gerando um coeficiente convectivo local superior ao observado no item (a).

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