Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos - Capítulo 5.Problemas - Ex. 40

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desse livro

O tempo t d para drenar um líquido através de um furo no fundo de um tanque é uma função do diâmetro d do furo, do volume v0 inicial de fluido, da profundidade inicial h0 do líquido e da massa específica ρ e viscosidade μ do fluido. Reescreva essa relação como uma função adimensional.

Passo 1

Vamos para mais um desafio da mecânica dos fluidos?

Vamos escrever matematicamente como as coisas são função de outras?

t d = f ( d ,   v 0 , h 0 ,   ρ ,   μ )

Quais são as unidades bases desses parâmetros?

t d = T

d = { L }

v 0 = L 3

h 0 = L

ρ = M L - 3

μ = { M L - 1 T - 1 }

Como temos 6 variáveis (n), e temos 3 dimensões bases (MLT), tem-se que o número de grupos pi iguais a 6– 3 = 3 grupos!

Passo 2

Bem, podemos então escrever os grupos adimensionais, beleza?

Π 1 = ρ a v 0 b μ c t d

Π 2 = ρ a v 0 b μ c h 0

Π 3 = ρ a v 0 b μ c d

Passo 3

Vamos agora fazer as análises dimensionais e assim montar as equações algébricas!!!

Π 1 = ρ a v 0 b μ c t d

M L - 3 a L 3 b M L - 1 T - 1 c { T } = { M 0 L 0 T 0 }

M : a + c = 0

L : - 3 a + 3 b - c = 0

T : - c + 1 = 0 → c = 1

a = - 1

Substituindo em L “a” e “c”!!

- 3 - 1 + 3 b - 1 = 0 → 2 + 3 b = 0 → b = - 2 / 3

Π 1 = t d μ ρ v 2 3

Vamos para os próximos grupos!!!!

Grupo 2:

Π 2 = ρ a v 0 b μ c h 0

M L - 3 a L 3 b M L - 1 T - 1 c { L } = { M 0 L 0 T 0 }

M : a + c = 0

L : - 3 a + 3 b - c + 1 = 0

T : - c = 0 → c = 0

a = 0

b = - 1 3

Π 2 = h 0 v 0 1 3

Grupo 3:

Π 3 = ρ a v 0 b μ c d

M L - 3 a L 3 b M L - 1 T - 1 c { L } = { M 0 L 0 T 0 }

M : a + c = 0

L : - 3 a + 3 b - c + 1 = 0

T : - c = 0 → c = 0

a = 0

b = - 1 3

Π 3 = h 0 d 1 3

Passo 4

Escrevendo um grupo em função do outro, temos que:

t d μ ρ v 2 3 = f h 0 v 0 1 3 , h 0 d 1 3

Resposta

t d μ ρ v 2 3 = f h 0 v 0 1 3 , h 0 d 1 3

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