Enunciado

A tensão de cisalhamento na parede τ p em uma camada-limite é considerada uma função da velocidade da corrente U, da espessura δ da camada-limite, da velocidade turbulenta local u’, da massa específica ρ e do gradiente de pressão local d p / d x   . Usando ( ρ ,   U ,   δ ) como variáveis repetitivas, reescreva essa relação como uma função adimensional.

Passo 1

As dimensões relevantes para esse problema são:

τ p = M L - 1 T - 1

U = L T - 1

δ = L

u ' = L T - 1

ρ = M L - 3

d p d x = M L - 2 T - 2

Temos um total de n= 6 variáveis e que para as dimensões básicas j = 3 (MLT), então esperam-se 3 grupos pi adimensionais.

Passo 2

Encontrando os grupos pi!!!

Π 1 = ρ a U b δ c τ p = M L 3 a L T b L c M L T 2 = M 0 L 0 T 0

Π 2 = ρ a U b δ c u ' = M L 3 a L T b L c L T = M 0 L 0 T 0

Π 3 = ρ a U b δ c d p d x = M L 3 a L T b L c M L 2 T 2 = M 0 L 0 T 0

Vamos fazer nosso equacionamento para o grupo 1!!

Para M: a + 1 = 0 → a = - 1

Para L: - 3 a + b + c - 1 = 0

Para T: - b - 2 = 0 → b = - 2

Com a = -1 e b = -2 , c = 0

Fazendo analogamente para os grupos 2 e 3, vamos obter

Grupo 2: a =0, b=-1 e c =0

Grupo 3: a=-1, b =-2 e c =1

Passo 3

Portanto, o grupo adimensional pode ser escrito da seguinte forma:

Π 1 = f Π 2 ,   Π 3 → τ p ρ U 2 = f u ' U , d p d x δ ρ U 2  

Resposta

τ p ρ U 2 = f u ' U , d p d x δ ρ U 2

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