Enunciado

Um trocador de calor de tubos geminados, com escoamento em contracorrente, opera com vazões iguais de 0,003   k g / s nas correntes de ar quente e de ar frio. A corrente fria entra a 280   K e deve ser aquecida até 340   K , utilizando o ar quente disponível a 360   K . A pressão média das correntes de ar é 1   a t m e a queda de pressão máxima permissível na linha de ar frio é de 10   k P a . Considere que as paredes dos tubos atuam como aletas, cada uma com uma eficiência de 100 % .

a) Determine o diâmetro D e o comprimento L dos tubos que satisfazem às exigências de transferência de calor e queda de pressão especificadas.

Passo 1

Começamos o problema calculando a temperatura média do fluido aquecido:

T m = T f , e n t + T f , s a i 2

Dados:

T f , e n t = 280   K ;

T f , s a i = 340   K .

Temos:

T m = 280 + 340 2

T m = 310   K

Pela Tabela A . 4 obtemos as seguintes propriedades do ar sob a temperatura média de 310   K :

ρ = 1,1281   k g / m 3

c p = 1007   J / k g ⋅ K

μ = 189,3 × 10 - 7   N ⋅ s / m 2

k = 0,027   W / m ⋅ K

P r = 0,705

Passo 2

Como é um trocador de calor balanceado, as taxas de capacidade de ambos os fluxos de ar serão as mesmas:

C q = C f

C m í n = C m á x

Desse modo, a razão da capacidade térmica será igual a 1:

C r = C m í n C m á x = 1

Calculando a eficácia do trocador de calor:

ε = C f T f , s a i - T f , e n t C m í n T q , e n t - T f , e n t

ε = T f , s a i - T f , e n t T q , e n t - T f , e n t

Substituindo as temperaturas:

ε = 340 - 280 360 - 280

ε = 0,75

Passo 3

Calculando N T U para o trocador de calor de escoamento contracorrente com taxa de capacidade igual a 1:

N T U = ε 1 - ε

N T U = 0,75 1 - 0,75

N T U = 3

Como:

N T U = U A C m í n

Com:

C m í n = m ˙ c p

E

m ˙ = 0,003   k g / s .

Temos:

U A = N T U ⋅ C m í n = N T U ⋅ m ˙ c p

U A = 3 ⋅ 0,003 ⋅ 1007

U A = 9,063   W / K

Passo 4

A expressão para o coeficiente geral de transferência de calor se dá:

1 U A = 1 h f A + 1 h q A

Como as condições de fluxo são quase idênticas, os coeficientes de transferência de calor por convecção podem ser aproximadamente iguais, então:

h f = h q = h

Portanto:

1 U = 2 h

U = h 2

Como:

U A = 9,063   W / K

Então:

h 2 ⋅ A = h 2 ⋅ π D L = 9,063

h D L = 5,769

Passo 5

Calculando o número de Reynolds:

R e D = 4 m ˙ π μ D

Substituindo os dados:

R e D = 4 ⋅ 0,003 π ⋅ 189,3 × 10 - 7 ⋅ D

R e D = 201,78 D

Escrevendo uma expressão para o número de Nusselt para o caso de fluxo turbulento totalmente desenvolvido aplicando a equação de Dittus-Botler para aquecimento de ambas as correntes de ar:

N u D = 0,023 R e D 4 5 P r 0,4

Substituindo os dados:

N u D = 0,023 ⋅ 201,78 D 4 5 ⋅ 0,705 0,4

N u D = 1,3961   D - 0,8

Como:

N u D = h D k

Então:

h D k = 1,3961   D - 0,8

h D 1,8 = 1,3961 ⋅ 0,027

h D 1,8 = 1,3961 ⋅ 0,027

h D 1,8 = 0,03769

Passo 6

A expressão para o fator de atrito para o fluxo turbulento totalmente desenvolvido se dá:

f = 0,790 ln ⁡ R e D - 1,64 - 2

Substituindo R e D :

f = 0,790 ln ⁡ 201,78 D - 1,64 - 2

Passo 7

Já a expressão para a queda de pressão para fluxo totalmente desenvolvido aplicando a equação de Darcy é:

∆ p = f ρ u m 2 2 D L

Expandindo:

∆ p = f ρ L 2 D 4 m ˙ π ρ D 2 2

Sendo:

∆ p = 10   k P a .

Temos: 10 × 10 3 = f 1,1281 ⋅ L 2 D 4 ⋅ 0,003 π ⋅ 1,1281 ⋅ D 2 2

f L D 5 = 1,546 × 10 9

Passo 8

Resolvendo as equações dos Passos 4, 5, 6 e 7 simultaneamente utilizando ferramentas matemáticas, obtemos:

D = 9 × 10 - 3   m

L = 3,46   m

f = 0,025

h = 182,9   W / m 2 ⋅ K

Resposta

D = 9 × 10 - 3   m

L = 3,46   m

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