Enunciado

Um tubo circular de água tem uma expansão abrupta do diâmetro D 1 = 15   c m para D 2 = 20   c m . A pressão e a velocidade média da água no tubo menor são P 1 = 120   k P a e 10   m / s , respectivamente, e o escoamento é turbulento. Aplicando as equações da continuidade, do momento e da energia e desprezando os efeitos dos fatores de correção para a energia cinética e para o fluxo de momento mostre que o coeficiente de perda para a expansão repentina é K L = 1   — D 1 2 D 2 2 2 e calcule K L e P 2 para este caso.

Passo 1

Bom gente, nesse problema nós devemos primeiramente demonstrar através das equações da continuidade, do momento e da energia como podemos chegar ao coeficiente de perda para a expansão repentina: K L = 1   — D 1 2 D 2 2 2 , posteriormente calculamos K L e P 2 .

Passo 2

O nosso diagrama ficará assim:

Aplicamos a equação de continuidade:

m 1 ˙ = m 2 ˙

ρ A 1 V 1 = ρ A 2 V 2

Como a densidade é constante, então:

A 1 V 1 = A 2 V 2

V 2 = A 1 V 1 A 2

Passo 3

Certo, até ai tudo bem, temos a primeira equação. Agora, pela conservação de momento em um regime permanente, temos:

∑ F s i s t = ∑ s β m ˙ V - ∑ e β m ˙ V

Organizamos as forças atuando no sistema e, como desprezamos os efeitos dos fatores de correção para a energia cinética e para o fluxo de momento, temos β = 1 e α = 1 .

Temos que ter atenção para a expansão que nós chamamos de x , é como se tivéssemos o ponto 1 , 2 e um “meio” ponto de x . Portanto:

P 1 A 1 + P 1 ( A x - A 1 ) - P 2 A 2 = m ˙ V 2 - V 1

P 1 A x - P 2 A 2 = m ˙ V 2 - V 1

Nesse caso, a seção A x também ocupa o ponto 2 , logo

P 1 A 2 - P 2 A 2 = m ˙ V 2 - V 1

Como estamos usando a equação de continuidade, para a vazão mássica tanto faz o ponto 1   ou o ponto 2 , escolhemos o 2 :

P 1 A 2 - P 2 A 2 = ρ A 2 V 2 V 2 - V 1

Assim, do passo 1 , aplicamos V 2 na equação acima:

P 1 A 2 - P 2 A 2 = ρ A 2 A 1 V 1 A 2 A 1 V 1 A 2 - V 1

P 1 - P 2 ρ = A 1 A 2 A 1 A 2 - 1 V 1 2

Passo 4

Para a equação de energia, como não há bomba nem turbina, temos h b o m b a = 0 e h t u r b i n a = 0 . Assim:

P 1 ρ g + α 1 V 1 2 2 g + z 1 + h b o m b a = P 2 ρ g + α 2 V 2 2 2 g + z 2 + h t u r b i n a + h L

P 1 ρ g + α 1 V 1 2 2 g + z 1 = P 2 ρ g + α 2 V 2 2 2 g + z 2 + h L

h L = P 1 ρ g - P 2 ρ g + V 1 2 2 g - V 2 2 2 g

h L = P 1 - P 2 ρ g + V 1 2 - V 2 2 2 g

Passo 5

Como h L = K L V 1 2 2 g e considerando as expressões finais dos passos, vamos substituindo:

K L V 1 2 2 g = P 1 - P 2 ρ g + V 1 2 - V 2 2 2 g

K L V 1 2 2 g = A 1 A 2 A 1 A 2 - 1 V 1 2 g + V 1 2 - A 1 V 1 A 2 2 2 g

Isolando K L :

K L = 2 A 1 A 2 A 1 A 2 - 1 + 1 - A 1 V 1 A 2 2 2 g

K L = 2 A 1 A 2 A 1 A 2 - 1 + 1 - A 1 2 A 2 2

K L = 1 - A 1 A 2 2

Passo 6

Com a expressão anterior, vamos calcular o K L :

K L = 1 - A 1 A 2 2                 ∴                 K L = 1 - π 0,15 2 4 π 0,2 2 4 2 = 0,191

Assim, h L = K L V 1 2 2 g = 0,973   m e V 2 = A 1 V 1 A 2 = 5,63   m / s .

E por fim, calculamos P 2 :

h L = P 1 - P 2 ρ g + V 1 2 - V 2 2 2 g

P 2 = P 1 + ρ V 1 2 - V 2 2 2 - g h L

P 2 = 144   k P a

Prontinho!!

Resposta

K L = 0,191 e P 2 = 144   k P a

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