Enunciado

Um tubo liso horizontal, de 75 mm de diâmetro, transporta água (65°C). Quando a vazão é 0,075 kg/s, a queda de pressão medida é 7,5 Pa por 100 m de tubo. Com base nestas medidas, qual é o fator de atrito? Qual é o número de Reynolds? Este número de Reynolds normalmente indica escoamento turbulento ou laminar? Afinal, o escoamento é realmente turbulento ou laminar?

Passo 1

Neste problema é pedido o fator de atrito ( f ) e o número de Reynolds ( R e ).

Para o cálculo da do fator de atrito será necessário o cálculo da perda de carga a partir da Equação da Energia, em J/kg, conforme a expressão:

p 1 ρ 1 + α V 1 2 2 + g z 1 = p 2 ρ 2 + α V 2 2 2 + g z 2 + h l

Sabendo da definição da perda de carga é possível o cálculo do fator de atrito:

h l = f L D V 2 2

Já o número de Reynolds é calculado a partir de:

R e = ρ V D μ

Para a aplicação da equação apresentada, as seguintes hipóteses e dados serão utilizadas:

- regime permanente ( ∂ / ∂ t = 0 );

- escoamento incompressível ( ρ 1 = ρ 2 ,   ) e de água ( ρ = 1000   k g / m ³ );

- α ≈ 1,0 ;

- L = 100   m ;

- ∆ p = 75   m

- z 2 = z 1 (tubo horizontal);

- m ˙ = 0,075   k g / s ;

- tubo de seção constante ( V 1 = V 2 );

- D = 75   m m ;

- μ = 4 × 10 - 4   P a ∙ s (viscosidade para temperatura de 65°C);

Passo 2

Calculando a perda de carga h l :

p 1 ρ 1 + α V 1 2 2 + g z 1 = p 2 ρ 2 + α V 2 2 2 + g z 2 + h l

h l = p 1 ρ - p 2 ρ + α V 1 2 2 - α V 2 2 2 + g z 1 - g z 2

h l = p 1 - p 2 ρ + α V 1 2 - V 2 2 2 g + g ( z 1 - z 2 )

Sabendo que p 1 - p 2 = ∆ p , V 1 = V 2 e que z 2 - z 1 = 0 :

h l = ∆ p ρ + α × 0 + 0

Logo a perda de carga é dada por:

h l = ∆ p ρ

Passo 3

Igualando as expressões de perda de carga ( h l ):

h l = f L D V 2 2

h l = ∆ p ρ

Logo:

f L D V 2 2 = ∆ p ρ

Então, o fator de atrito pode ser calculado a partir de:

f = 2 D ρ V 2 ∆ p L

Passo 4

Calculando a velocidade média do escoamento a partir da definição de fluxo de massa ( m ˙ ):

m ˙ = ρ Q

m ˙ = ρ V A

m ˙ = ρ V π D 2 4

Então, a velocidade é dada por:

V = 4 m ˙ ρ π D 2

Usando os valores numéricos conhecidos:

V = 4 × 0,075 1000 × π × ( 75 × 10 - 3 ) 2

Logo, a velocidade do escoamento é de:

V = 0,017   m / s

Passo 5

Calculando o fator de atrito:

f = 2 D ρ V 2 ∆ p L

f = 2 × ( 75 × 10 - 3 ) 1000 × ( 0,017 ) 2 75 100

Então, o fator de atrito vale:

f = 0,039

Passo 6

Calculando o número de Reynolds:

R e = ρ V D μ

R e = 1000 × 0,017 × ( 75 × 10 - 3 ) 4 × 10 - 4

Então, o número de Reynolds vale:

R e = 3188

Passo 7

O número de Reynolds é superior a 2300, logo pode-se afirmar tratar de um escoamento turbulento.

Passo 8

Utilizando a Equação 8.37 (Equação de Colebrook) é possível calcular o fator de atrito conforme característica de rugosidade , diâmetro e número de Reynolds:

1 f = - 2 log ⁡ e / D 3,7 + 2,51 R e f

Conhecendo o número de Reynolds e sabendo que para um tubo liso e = 0 :

1 f = - 2 log ⁡ 0 3,7 + 2,51 3188 × f

Por método iterativo, conclui-se que:

f = 0,043

Dessa forma, pode-se afirmar que o escoamento de fato é turbulento pois o fator de atrito segundo as características do escoamento se aproxima do resultada da formulação de Colebrook.

Resposta

f = 0,039

R e = 3188

Escoamento turbulento

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