Enunciado

Um tubo vertical de cobre, com L = 1 m de comprimento, diâmetro interno D i = 20 mm e espessura de parede t = 2 mm, contém água líquida a T a g ≈ 0 °C. Em um dia de inverso, ar com V = 3 m/s e a T ∞ = –20 °C escoa em escoamento cruzado ao redor do tubo.

(a) Determine a perda de calor por unidade de massa da água (W/kg) quando o tubo está cheio de água.

(b) Determine a perda de calor da água (W/kg) quando o tubo tem água até a sua metade.

Passo 1

Beleza! Vamos começar esse exercício calculando a temperatura de filme T f , dada pela média entre a temperatura do escoamento e a da superfície do tubo. Nesse caso, vamos considerar a temperatura superficial do tubo como sendo igual a temperatura da água líquida, então teremos:

T f = 0 + - 20 2 → T f = - 10   ° C = 263   K

Agora nós vamos recorrer à tabela A.4 do apêndice A para encontrar as propriedades do ar na temperatura de filme para utilizar posteriormente nos cálculos. Então, através da tabela A.4 conseguimos os seguintes dados:

k = 0,0233   W / m . K

ν = 12,6.10 - 6   m 2 / s

P r = 0,717

Agora, iremos pegar a densidade da água líquida a 0 °C = 273 K através da tabela A.6, que será:

ρ = 1000   k g / m 3

E, por fim, a condutividade do cobre para através da tabela A.1, onde teremos:

k C u = 401   W / m . K

Passo 2

Agora, para a letra (a), vamos analisar o tubo cheio de água. Começaremos calculando o número de Reynolds para o escoamento, levando em consideração o diâmetro externo temos:

R e D = V D o ν = 3 0,024 12,6.10 - 6 → R e D = 5714,3

Agora, vamos calcular o número de Nusselt através da relação de Churchill-Bernstein, dada por:

N u - D = 0,3 + 0,62 R e D 1 2 P r 1 3 1 + 0,4 P r 2 3 1 4 1 + R e D 282000 5 8 4 5

Substituindo os valores conhecidos, temos:

N u - D = 0,3 + 0,62 5714,3 1 2 ( 0 , 717 ) 1 3 1 + 0,4 0,717 2 3 1 4 1 + 5714,3 282000 5 8 4 5

N u - D = 39,71

Sabendo que o coeficiente convectivo se relaciona com Nusselt através da seguinte equação:

h - = k N u - D D

Podemos substituir os valores conhecidos e encontrar o valor do coeficiente convectivo, então teremos:

h - = 0,0233 39,71 0,024 → h - = 38,56   W / m 2 . K

Passo 3

Agora, para encontrar a perda de calor para a água, iremos utilizar a equação 3.34 vista lá no capítulo 3 para sistemas radiais com o uso de resistência térmica, a equação é dada por:

q r = T ∞ , 1 - T ∞ 2 ln ⁡ r o r i 2 π k A L + 1 2 π r o L h 1

Então, substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

q r = 0 - ( - 20 ) ln ⁡ 0,012 0,01 2 π ( 401 ) ( 1 ) + 1 2 π 0,012 ( 1 ) ( 38,56 ) → q r = 58,1   W

Agora, precisamos encontrar a massa total de água, lembrando que estamos analisando o caso onde temos o tubo cheio de água, então a massa de água será:

M = V ρ = A s L ρ = π D i 2 L ρ 4

Substituindo os valores conhecidos, temos:

M = π 0,02 2 1 1000 4 → M = 0,314   k g

Então, o calor perdido por massa de água será:

q r M = 58,1 0,314 → q r M = 184,9   W / k g

Passo 4

Agora, para a letra (b), temos água até a metade do tubo, desse modo a parte superior que não possui água funcionará como se fosse uma aleta. Então, a perda total de calor por unidade de massa será a soma da perda encontrada no passo 3 com a perda da parte superior que pode ser modelada como uma aleta. Observe que podemos usar o resultado do passo 3 pois encontramos o calor por unidade de massa de água, então ele não depende da quantidade de água no tubo.

Beleza! Então vamos considerar uma aleta com comprimento infinito, desse modo, o calor trocado pode ser encontrado através da seguinte equação:

q s u p = h P k A c θ b

Então, vamos encontrar os valores do perímetro e da área transversal. Começando pelo perímetro, temos:

P = π D o = π 0,024 → P = 0,075398   m

Agora, para a área transversal, lembrando que é uma seção vazada, teremos:

A c = π D o 2 - D i 2 4 = π 0,024 2 - 0,02 2 4 → A c = 1,382.10 - 4   m 2

Então, substituindo os valores conhecidos na equação para o calor, temos:

q s u p = 38,56 0,075398 401 1,382.10 - 4 0 - - 20 → q s u p = 8,03   W

Agora, como o tubo está cheio de água até a metade, teremos metade da massa encontrada no passo 3, ou seja:

M = 0,157   k g

Então, o calor por unidade de massa da parte superior do tubo será:

q s u p M = 8,03 0,157 → q s u p M = 51,1   W / k g

Então, o calor total por unidade de massa será:

q T M = q r M + q s u p M = 184,9 + 51,1 → q T M = 236   W / k g

Resposta

a :   q r M = 184,9   W / k g

b :   q T M = 236   W / k g

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