Enunciado

Considere ar atmosférico a u ∞ = 2 m/s e T ∞ = 300 K em escoamento paralelo sobre uma placa plana isotérmica de comprimento L = 1 m e temperatura T s = 350 K.

(a) Calcule o coeficiente convectivo local nas arestas frontal e de saída da placa aquecida, com e sem um comprimento inicial sem aquecimento de ξ = 1 m.

(b) Calcule o coeficiente convectivo médio na placa para as mesmas condições da parte (a).

(c) Represente graficamente a variação do coeficiente convectivo local ao longo da placa, com e sem um comprimento inicial sem aquecimento.

Passo 1

Vamos começar a letra (a) calculando a temperatura de filme, que será utilizada para calcular as propriedades de interesse do ar. Sabendo que ela é dada pela média entre T ∞ e a temperatura de superfície, teremos:

T f = T ∞ + T s 2 = 300 + 350 2 → T f = 325   K

Agora, com essa temperatura, vamos recorrer à tabela A.4 do apêndice A para encontrar as propriedades de interesse do ar, onde teremos:

k = 0,0282   W / m . K

ν = 18,4.10 - 6   m 2 / s

P r = 0,703

Então, agora vamos calcular o número de Reynolds para o escoamento com o comprimento inicial sem aquecimento de ξ = 1   m , então, para o comprimento total, teremos:

R e x = V L ν = 2 1 18,4.10 - 6 → R e x = 108695,6 = 1,09.10 5

Então, como temos o Reynolds crítico de R e x , c = 5.10 5 , esse escoamento é laminar ao longo de toda a placa, com ou sem o comprimento inicial sem aquecimento.

Passo 2

Beleza, então, começando a análise sem o comprimento inicial sem aquecimento, iremos utilizar a seguinte correlação para Nusselt:

N u x = 0,332 R e x 1 2 P r 1 3

Então, substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

N u x = 0,332 108695,6 1 2 0,703 1 3 → N u x = 97,3

E, sabendo que Nusselt se relaciona com o coeficiente convectivo através da seguinte equação:

h x = N u x k x

Então, na aresta frontal, ou seja, em x = 0, teremos:

h x = ∞

Agora iremos analisar a aresta de saída, nesse caso, o comprimento total é de 1 metro, então, substituindo os valores conhecidos nessa equação, chegamos em:

h x = 97,3 0,0282 1 → h x = 2,74   W / m 2 . K

Passo 3

Agora vamos considerar o caso onde temos comprimento inicial sem aquecimento, nesse caso, iremos utilizar a seguinte correlação para Nusselt:

N u x = N u x ξ = 0 1 - ξ x 3 4 1 3

O termo N u x ξ = 0 é justamente a expressão para Nusselt sem o comprimento inicial sem aquecimento, que foi usada anteriormente, então, substituindo a expressão para Nusselt, essa equação se torna:

N u x = 0,332 R e x 1 2 P r 1 3 1 - ξ x 3 4 1 3

Então, para a aresta de entrada, ou seja, em x = 1, teremos:

N u x = 0,332 108695,6 1 2 ( 0,703 ) 1 3 1 - 1 1 3 4 1 3 → N u x = ∞

E, dessa forma, o coeficiente convectivo será:

h x = N u x k x → h x = ∞

Agora, calculando Nusselt para a aresta de saída, ou seja, em x = 2 m, lembrando que nesse caso, o Reynolds utilizado será o do comprimento total de 2 m, ou seja, duas vezes aquele calculado no passo 1, então teremos:

N u x = 0,332 217391,2 1 2 ( 0,703 ) 1 3 1 - 1 2 3 4 1 3 → N u x = 186

E, substituindo esse valor na equação para o coeficiente convectivo, chegamos em:

h x = N u x k x = 186 0,0282 2 → h x = 2,62   W / m 2 . K

Passo 4

Agora para a letra (b), precisamos calcular o coeficiente convectivo médio para os dois casos abordados na letra (a). Esse coeficiente convectivo médio pode ser encontrado através da equação 6.14, dada por:

h - L = 1 L ∫ 0 L h x x d x

Então, conforme vimos nos passos anteriores, o coeficiente convectivo pode ser escrito em função de Nusselt, dado por:

h x = N u x k x

E, vimos também as equações utilizadas para Nusselt nos dois casos. Dessa forma, substituindo a correlação sem o comprimento inicial sem aquecimento, chegamos em:

h x = 0,332 R e x 1 2 P r 1 3 k x

E, por fim, substituiremos a relação para Reynolds nessa equação, chegando em:

h x = 0,332 V x ν 1 2 P r 1 3 k x → h x = 0,332 V 1 2 P r 1 3 k ( ν x ) 1 2

Então, substituindo essa expressão na integral, chegamos em:

h - L = 1 L ∫ 0 L 0,332 V 1 2 P r 1 3 k ν x 1 2 d x = 0,332 V 1 2 P r 1 3 k ν 1 2 L ∫ 0 L d x x 1 2

Resolvendo essa integral, chegamos em:

h - L = 0,332 V 1 2 P r 1 3 k ν 1 2 L 2 x 1 2 0 L → h - L = 0,332 V 1 2 P r 1 3 k 2 L 1 2 ν 1 2 L

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

h - L = 0,332 2 1 2 0,703 1 3 0,0282 2 1 1 2 18,4.10 - 6 1 2 ( 1 ) → h - L = 5,49   W / m 2 . K

Passo 5

Agora vamos repetir o processo do passo 4, só que com o comprimento inicial sem aquecimento, então, o coeficiente convectivo médio será:

h - L = 1 L ∫ 0 L h x x d x

Então, conforme vimos nos passos anteriores, o coeficiente convectivo pode ser escrito em função de Nusselt, dado por:

h x = N u x k x

Substituindo a relação para Nusselt com o comprimento inicial sem aquecimento, teremos:

h x = 0,332 R e x 1 2 P r 1 3 k x 1 - ξ x 3 4 1 3

E, substituindo a expressão para Reynolds, temos:

h x = 0,332 V x ν 1 2 P r 1 3 k x 1 - ξ x 3 4 1 3 = 0,332 V 1 2 P r 1 3 k ( ν x ) 1 2 1 - ξ x 3 4 1 3

E, substituindo essa relação na integral lá de cima, teremos:

h - L = 1 L ∫ 0 L h x = 0,332 V 1 2 P r 1 3 k ( ν x ) 1 2 1 - ξ x 3 4 1 3 d x

Resolvendo essa integral com o auxílio de uma calculadora, chegamos no seguinte valor para o coeficiente de convecção médio:

h - L = 4,24   W / m 2 . K

Passo 6

Agora, para a letra (c), precisamos representar o coeficiente convectivo local ao longo da placa para os dois casos, as equações para isso já foram escritas nos passos 4 e 5. Então, para o caso onde não temos o comprimento inicial sem aquecimento, a equação será:

h x = 0,332 V 1 2 P r 1 3 k ( ν x ) 1 2

E, para o caso onde temos comprimento inicial sem aquecimento, a equação será:

h x = 0,332 V 1 2 P r 1 3 k ( ν x ) 1 2 1 - ξ x 3 4 1 3

Então, plotando essas duas funções em um gráfico, tomando o cuidado de utilizar no eixo x a diferença x - ξ , para poder comparar as duas partes de uma maneira que fique mais visual no gráfico. Ou seja, quando não tivermos comprimento inicial sem aquecimento, termos x - 0 , e no caso com comprimento inicial sem aquecimento, iremos mostrar a parcela que começa com x = 1 e vai até x = 2. Dessa forma, teremos:

Resposta

a :   S e m :   h x 0 = ∞ ;   h x ( L ) = 2,74   W / m 2 . K

a :   C o m :   h x 0 = ∞ ;   h x ( L + ξ ) = 2,62   W / m 2 . K

b : S e m :   h - L = 5,49   W / m 2 . K

b : C o m :   h - L = 4,24   W / m 2 . K

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Considere o escoamento em regime permanente, laminar, bidimensional incompressível, com propriedades constantes e número de Prandtl igual a 1. Para determinada geometria, é correto dizer que tanto os
Para quais tipos de fluidos e escoamentos o termo “dissipação viscosa na equação de energia” é provavelmente significativo?
O que é variável de similaridade e para que é utilizada? Para que tipos de funções pode-se esperar que exista solução por similaridade para o conjunto de equações diferenciais parciais?
Para escoamento bidimensional constante sobre uma placa plana isotérmica a uma direção x , expresse as condições de contorno para os componentes de velocidade u e v , e a temperatura T na superfície d
Para escoamento bidimensional constante, o que são aproximações da camada limite?