Enunciado

Tubos com diâmetros interno e externo de 50 mm e 60 mm, respectivamente, são usados ​​para transportar vapor superaquecido em uma fábrica. Os tubos com condutividade térmica de 16 W m   ·   K são ligados entre si por flanges com espessura combinada de 20 mm e diâmetro externo de 90 mm. A condição do ar ao redor dos tubos tem uma temperatura de 25°C e o coeficiente de transferência de calor por convecção de 10 W m 2   ·   K . Considerando que a temperatura da superfície interna do tubo é mantida a uma temperatura constante de 150°C, determine a temperatura na base do flange e a taxa de perda de calor através do flange.

Passo 1

Boom galera, o que temos aqui??

A primeira coisa é saber a temperatura na base do flange, ou melhor, a temperatura na superfície do tubo, certo?

Se é assim, nós temos apenas duas resistências atuando aqui, a convectiva externa e a condutiva apresentada pelo tubo:

R 1 = R c i l i n d r o = ln ⁡ d e x t d i n t 2 π k a ç o L

R e x t = 1 h e x t × A e x t

Já sabemos como calcular as resistências, só precisamos das áreas.

Para a área externa nós levamos em consideração o diâmetro externo do tubo e levando em conta 1 metro de tubo:

A e x t = π d e x t L

A e x t = π ( 0,06   m ) ( 1   m ) = 0,18849   m 2

Passo 2

Agora vamos calcular as resistências:

R 1 = ln ⁡ 0,06 0,05 2 π 16 W m   ·   K ( 1   m ) = 0,001813   K W

R e x t = 1 10 W m 2   ·   K × 0,18849   m 2 = 0,5305   K W

Como todas estão em série a resistência total será:

R   T o t a l = R   1 + R   e x t = 0,5323   K W

Com a resistência nós podemos achar qual a taxa que calor atravessa o tubo:

Q ˙ = T   i n t - T   ∞ R   T o t a l

Substituindo:

Q ˙ = 150 ° C - 25 ° C 0,5323   K W

Como a variação em graus Celsius e kelvin é a mesma:

Q ˙ = 234,8   W

Mas não respondemos a pergunta, queremos saber qual a temperatura na superfície do tubo.

Se levarmos em conta que a transferência de calor não muda, e analisando somente a resistência convectiva externa nós podemos transformar a equação do calor em algo que resolva nossa questão:

Q ˙ = T   s u p - T   ∞ R   e x t

Substituindo:

234,8   W = T   s u p - 25 ° C 0,5305   K W

T   s u p = 149,576   ° C

É isso aii! Achamos a primeira resposta, agora vamos precisar da segunda !!

Passo 3

Bora achar a transferência de calor??

Antes de qualquer coisa nós precisamos analisar a eficiência desta aleta, ok?

E para achar a eficiência vamos usar o gráfico que foi dado no livro:

Vamos precisar achar a razão r 2 c r 1 e ξ .

Começando pela razão e lembrando que:

r 2 c = r 2 + t 2

Então:

r 2 c r 1 = r 2 + t 2 r 1 = d 2 2 + t 2 d 1 2

Substituindo:

r 2 c r 1 = 90   m m + 20   m m 60   m m = 1,83

E quanto ao ξ :

ξ = L c h k t

Se:

L c = L + t 2 = D 2 - D 1 2 + t 2

Então:

ξ = D 2 - D 1 2 + t 2 h k t

Substituindo:

ξ = 0,09   m - 0,06   m 2 + 0,02   m 2 10 W m 2   ·   K 16 W m   ·   K ( 0,02   m )

ξ = 0,025 × 5,59 = 0,139

Analisando o gráfico para ξ = 0,139 e r 2 c r 1 = 1,83 , a eficiência será próxima de 0,98.

Então:

ɳ a l e t a = 98 %

Achamos uma das respostas que precisamos mais ainda não terminamos a letra b!!

Passo 4

Agora nós queremos a taxa de transferência de calor. E para isso basta nós usarmos a fórmula que já nos foi dado, certo?

Não se lembram?

Eu mostro pra vocês:

Q   a l e t a ˙ = h A a l e t a ( T b - T ∞ )

Como nós temos uma eficiência de 98% a fórmula vai ficar um pouco diferente:

Q   a l e t a ˙ = ɳ a l e t a h A a l e t a ( T b - T ∞ )

Isso porque nós precisamos levar em conta essa eficiência para achar uma resposta adequada ao problema, beleza?

Nós temos quase tudo o que precisamos:

h = 10 W m 2   ·   K

T b = 149,576   ° C

T ∞ = 25 ° C

Mas falta a área!!

Só que para calcula-la nós podemos usar uma formulazinha também:

A a l e t a = 2 π ( r 2 2 - r 1 2 ) + 2 π r 2 t

Como estamos falando da aleta, o raio 2 será o raio maior e o raio 1 será o raio do orifício, tudo bem até aqui??

Agora que sabemos a fórmula e os dados é só substituir:

A a l e t a = 2 π 0,045 2 - 0,03 2 m 2 + 2 π 0,045   m 0,02   m = 0,013   m 2

Beleza!!

Se temos tudo o que precisamos agora é só calcular a taxa para transferência de calor:

Q   a l e t a ˙ = 0,98 × 10 W m 2   ·   K × 0,013   m 2 ( 149,576   ° C - 25 ° C )

Como a variação em graus Celsius e em kelvin é a mesma:

Q   a l e t a ˙ = 16   W

Agooora sim !! Achamos tudo o que precisávamos !

Resposta

T   s u p = 149,576   ° C ;

Q   a l e t a ˙ = 16   W .

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