Enunciado

Aletas circulares de resfriamento circular de diâmetro D = 1   m m e comprimento L = 30   m m , feitas de cobre k = 380 W m   ·   K , são usadas para aprimorar a transferência de calor de uma superfície mantida à temperatura T s 1 = 132   °   C . Cada vareta tem uma extremidade anexada a essa superfície ( x = 0 ) , enquanto a extremidade oposta ( x = L ) é fixada na segunda superfície, mantida a T s 2 = 0   °   C . O ar que flui entre as superfícies e as varetas também está a T ∞ = 0   °   C e o coeficiente de convecção é h = 100 W m 2   ·   K .

  1. Expresse a função θ x = T   x - T ∞ ao longo da aleta e calcule a temperatura em x = L 2 .
  2. Determine a taxa de transferência de calor a partir da superfície quente através de cada aleta e a eficácia da aleta. O uso das aletas é justificado? Por quê?
  3. Qual é a taxa global de transferência de calor a partir de uma seção da parede de 10 cm por 10 cm que possui 625 aletas uniformemente distribuídas? Assuma o mesmo coeficiente de convecção para a aleta e para a parte não aletada da superfície.

Passo 1

É isso aí galeraa! Essa é bem grandinha, mas com calma nós vamos conseguir!

Começando pela letra (a), devemos expressar a função θ x = T   x - T ∞ ao longo da aleta e calcular a temperatura em x = L 2 , certo?

Como nós temos as temperaturas da ponta da aleta especificadas usamos a seguinte equação:

T   x - T ∞ T s 1 - T ∞ = T s 2 - T ∞ T s 1 - T ∞ sinh ⁡ ( m x ) + sinh ⁡ [ m ( L - x ) ] sinh ⁡ ( m L )

Isolando o termo T   x - T ∞ :

θ x = T   x - T ∞ = T s 1 - T ∞ T s 2 - T ∞ T s 1 - T ∞ sinh ⁡ ( m x ) + sinh ⁡ [ m ( L - x ) ] sinh ⁡ ( m L )

Quando x = L 2 , então T   x = T L 2 :

T L 2 - T ∞ = T s 1 - T ∞ T s 2 - T ∞ T s 1 - T ∞ sinh ⁡ m L 2 + sinh ⁡ m L - L 2   sinh ⁡ ( m L )

T L 2 = T ∞ + T s 1 - T ∞ T s 2 - T ∞ T s 1 - T ∞ sinh ⁡ m L 2 + sinh ⁡ m L 2   sinh ⁡ ( m L )

Já sabemos que:

T s 1 = 132   °   C

T ∞ = T s 2 = 0 ° C

L = 30   m m = 0,03   m

Para calcular a temperatura neste ponto só precisamos de m, que para aletas cilíndricas é dada por:

m = 4 h k D

Se:

h = 100 W m 2   ·   K

D = 1   m m = 0,001   m

k = 380 W m   ·   K

Então:

m = 4 100 W m 2   ·   K 380 W m   ·   K 0,001   m = 32,44   m - 1

Na fórmula da temperatura:

T L 2 = 0 ° C + 132 ° C - 0 ° C 0 ° C - 0 ° C 132 ° C - 0 ° C sinh ⁡ 32,44   m - 1 × 0,03   m 2 + sinh ⁡   32,44   m - 1 × 0,03   m 2   sinh ⁡ ( 32,44   m - 1 × 0,03   m )

T L 2 = 132 sinh ⁡ 32,44   m - 1 × 0,03   m 2     sinh ⁡ ( 32,44   m - 1 × 0,03   m )

T L 2 = 58,89 ° C

A letra (a) foi moleza, bora pra (b)??

Passo 2

Como a temperatura das pontas da aleta são definidas podemos usar uma fórmula específica para a taxa de transferência de calor:

Q   a l e t a ˙ = T s 1 - T ∞ h p k A c cosh ⁡ ( m L ) - T s 2 - T ∞ T s 1 - T ∞ sinh ⁡ ( m L )  

Como a aleta é circular:

p = π D

A c = π D 2 4

Então:

Q   a l e t a ˙ = T s 1 - T ∞ h k π 2 D 3 4 cosh ⁡ ( m L ) - T s 2 - T ∞ T s 1 - T ∞ sinh ⁡ ( m L )

Já temos tudo o que precisamos, bora substituir!

Q   a l e t a ˙ = 132 ° C - 0 ° C 100 W m 2   ·   K 380 W m   ·   K π 2 ( 0,001   m ) 3 4 cosh ⁡ ( 32,44   m - 1 × 0,03   m ) - 0 ° C - 0 ° C 132 ° C - 0 ° C sinh ⁡ ( 32,44   m - 1 × 0,03   m )

Q   a l e t a ˙ = 132 ° C 9,376 × 10 - 5 W 2 K 2 1,5121 1,1342

Q   a l e t a ˙ = 1,704   W

Passo 3

A letra b não acabou, ainda precisamos achar a eficácia!

Se lembram da fórmula?

ε a l e t a = Q   a l e t a ˙ Q   s e m   a l e t a ˙

O calor da superfície sem a aleta é dado simplesmente por:

Q   s e m   a l e t a ˙ = h A c T s 1 - T ∞

Substituindo a área da seção circular:

Q   s e m   a l e t a ˙ = h π D 2 4 T s 1 - T ∞

E agora os dados:

Q   s e m   a l e t a ˙ = 100 W m 2   ·   K π ( 0,001   m ) 2 4 132 ° C - 0 ° C = 0,0104   W

E agora é só lançarmos na eficácia:

ε a l e t a = 1,704   W 0,0104   W = 163,8  

Como a eficácia da aleta é muito maior que 2, o seu uso é justificado e ela aumenta, e muito, a taxa de transferência de calor da superfície!!

Passo 4

Então galera, vamos agora fazer a (c).

Aqui precisamos achar a taxa total de transferência de calor, ou seja, o calor que é transferido por meio das 625 aletas e o calor que é transferido pela superfície sem aletas, certo:

Q   t o t a l ˙ = Q   625   a l e t a s ˙ + Q   s e m   a l e t a s ˙

Já temos a troca de calor através de uma aleta, então:

Q   625   a l e t a s ˙ = 625 × Q   a l e t a ˙ = 625 × 1,704   W

Q   625   a l e t a s ˙ = 1065   W

Também vimos como se calcula a área para a superfície sem aletas, no entanto, neste caso a área será dada pela área total menos a área ocupada pelas seção de base circular das 625 aletas:

Q   s e m   a l e t a ˙ = h 0,1   m × 0,1   m - 625 π D 2 4 T s 1 - T ∞

Substituindo:

Q   s e m   a l e t a ˙ = 100 W m 2   ·   K 0,1   m × 0,1   m - 625 π 0,001   m 2 4 132 ° C - 0 ° C

Q   s e m   a l e t a ˙ = 125,52   W

No calor total:

Q   t o t a l ˙ = 1065   W + 125,52   W

Q   t o t a l ˙ = 11 90,52   W

Gostaram ??

Resposta

  1. T L 2 = 58,89 ° C ;
  2. Q   a l e t a ˙ = 1,704   W e ε a l e t a = 163,8 ;  
  3. Q   t o t a l ˙ = 1190,52   W .
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