Enunciado

Uma tubulação de vapor é envolvida por isolamento térmico cujos raios interno e externo são r i e r e , respectivamente. Em um dado instante de tempo, sabe-se que a distribuição de temperaturas no isolamento tem a forma

T r = C 1   .   l n r r e + C 2

O sistema encontra-se em regime estacionário ou transiente? Como variam com o raio o fluxo térmico e a taxa de transferência de calor?

Passo 1

Fala aí! Partiu resolver essa questão!

Bom, o nosso enunciado quer que a gente diga em qual regime nosso problema está, se estacionário ou transiente, e além disso ele quer a explicação de como varia o fluxo térmico e a taxa de transferência, com o raio… humm...

Relaxa aí! Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro vamos começar usando a equação:

1 r   .   ∂ ∂ r r   .   ∂ T ∂ r = 1 α   .   ∂ T ∂ t

Agora no lugar desse T vamos colocar a função T ( r ) que o enunciado nos deu:

1 α   .   ∂ T ∂ t = 1 r   .   ∂ ∂ r r   .   ∂ ∂ r C 1   .   l n r r e + C 2  

1 α   .   ∂ T ∂ t = 1 r   .   ∂ ∂ r r   .   C 1 r  

1 r   .   ∂ ∂ r r   .   C 1 r   = 0

Opa! Estamos em regime estacionário! Já resolvemos a primeira parte da questão!

Passo 3

Agora vamos usar a equação do fluxo térmico para ver como ele varia com o raio nas condições que nos foram dadas:

q r " =   - k   .   ∂ T ∂ r

q r " =   - k   .   ∂ ∂ r C 1   .   l n r r e + C 2

q r " =   - k   .   C 1 r

Show de bola? Conseguimos quase tudo… Só falta agora a taxa de transferência de calor:

q r = A   .   q r "

Vamos substituir a área e o fluxo que achamos ali em cima!

q r = 2   .   π   .   r   .   L   .   - k   .   C 1 r

q r =   - 2   .   π   .   L   .   k   .   C 1

Uhull! Conseguimos! Arrasamos!

Resposta

O sistema está em regime estacionário.

O fluxo térmico varia na forma q r " =   - k   .   C 1 r

A taxa de tranferência de calor varia na forma q r =   - 2   .   π   .   L   .   k   .   C 1

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