Enunciado

As condições na entrada do bocal de uma turbina Pelton são p = 4,9   M P a e V = 24   k m / h . O diâmetro do jato é d = 190   m m e o coeficiente de perda do bocal é K b o c a l = 0,04 . O diâmetro da roda é D = 2,4   m . Para esta condição de operação, η = 0,86 . Calcule (a) a potência produzida, (b) a velocidade normal de operação, (c) a velocidade aproximada de descarga, (d) o torque na velocidade normal de operação e (e) o torque aproximado para velocidade nula.

Passo 1

Tá legal! Vamos começar esse exercício aplicando a equação 10.28b para o sistema entre os pontos dentro da tubulação (1) e na saída do jato (2), então, temos:

p 1 ρ g + V 1 2 2 g + z 1 = p 2 ρ g + V 2 2 2 g + z 2 + h 1 T g

Nesse caso, podemos desprezar as diferenças entre as cotas z 1 e z 2 , e como temos que o bocal descarrega para a atmosfera p 2 = p a t m = 0 , e dessa forma, iremos utilizar a pressão p 1 dada de forma manométrica. Sabemos também que V 1 foi dado no enunciado e que V 2 = V j , então a equação se torna:

p 1 ρ g + V 1 2 2 g - V j 2 2 g = h 1 T g

E, como só temos perda localizada no bocal então:

h 1 T = K V 1 2 2

Substituindo esse valor na expressão anterior, temos:

p 1 ρ g + V 1 2 2 g - V j 2 2 g = K V 1 2 2 g

Substituindo os valores conhecidos:

4,9.10 6 999 9,81 + 24 3,6 2 2 9,81 - V j 2 2 9,81 = 0,04 24 3,6 2 2 9,81 → V j = 99,2   m / s

Essa é a velocidade de descarga pedida na letra c).

Passo 2

Agora vamos calcular a vazão do sistema:

Q = V j A j = V j π d 2 4 = 99,2 π 0,19 2 4 → Q = 2,81   m 3 / s

E, agora vamos encontrar a carga líquida para o sistema, dada por:

H = p 1 ρ g + V 1 2 2 g = 4,9.10 6 999 ( 9,81 ) + 24 3,6 2 2 9,81 → H = 502,2   m

E, com isso, podemos encontrar a potência produzida pedida na letra a):

P = η ρ g H Q

Substituindo os valores conhecidos:

P = 0,86 999 9,81 502,2 2,81 → P = 11895   k W

Passo 3

Agora vamos encontrar a velocidade normal de operação, que será encontrada através da figura 10.36 junto com a eficiência de 0,86 dada no enunciado, então, temos:

Então, para a eficiência de 0,86, temos uma razão de:

U V j = 0,47 → U = 0,47 99,2 → U = 46,6   m / s

E, com isso podemos encontrar a velocidade angular de operação:

U = ω R → ω = 46,6 1,2 → ω = 38,8   r a d / s = 371   r p m

Passo 4

Como vimos a velocidade de descarga é igual a velocidade do jato, então, a velocidade angular de descarga será:

ω = V j R = 99,2 1,2 → ω = 82,7   r a d / s = 789,4   r p m

Passo 5

Então, conforme vimos nessa seção, sabemos que o torque ideal para uma turbina Pelton pode ser dado por:

T i = ρ Q R V j - U 1 - cos ⁡ 165 °

Então, substituindo os valores conhecidos, temos:

T i = 999 2,81 1,2 99,2 - 46,6 1 - - 0,0663 → T i = 188944,1   N . m

Dessa forma, o torque na velocidade normal de operação pode ser encontrado utilizando a eficiência do sistema, então, temos:

T r = η T i = 0,86 188944,1 → T r = 162491,9   N . m

Passo 6

Agora, para encontrar o torque aproximado para velocidade nula, devemos usar a fórmula do torque ideal, só que agora com U = 0 , então, temos:

T i = ρ Q R V j - U 1 - cos ⁡ 165 °

Então, substituindo os valores conhecidos, temos:

T i = 999 2,81 1,2 99,2 - 0 1 - - 0,0663 → T = 356323,2   N . m

Esse já é o torque aproximado para a velocidade nula, pois como o sistema está em repouso, não precisamos multiplicar esse valor pela eficiência do sistema.

Resposta

P = 11895   k W

U = 46,6   m / s ; ω = 371   r p m

V j = 99,2   m / s ; ω = 789,4   r p m

T r = 162491,9   N . m

T = 356323,2   N . m

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