Enunciado

A unidade elementar de um aquecedor de ar é constituída por um longo bastão circular de diâmetro D , que é encapsulado por uma luva aletada. No bastão, energia térmica é gerada por aquecimento resistivo. As N aletas de espessura t e comprimento L são integralmente esculpidas na luva quadrada de largura w . Sob condições de operação em regime estacionário, a taxa de geração de energia térmica corresponde a taxa de transferência de calor para o escoamento de ar sobre a luva.

(a) Sob condições nas quais uma temperatura superficial uniforme T s , é mantida ao redor da circunferência do aquecedor e a temperatura T s e o coeficiente convectivo h do escoamento do ar são conhecidos, obtenha uma expressão para a taxa de transferência de calor, por unidade de comprimento, para o ar. Determine a taxa de transferência de calor para T s = 300 ° C , D = 20   m m , uma luva de alumínio ( k s = 240   W / m K ,   w = 40   m m ,   N = 16 ,   t = 4   m m ,   L = 20   m m ,   T ∞ = 50 ° C e h = 500   W / m 2 K ) .

(b) Para a taxa de transferência de calor anterior e um aquecedor de cobre com condutividade térmica k s = 400   W / m 2 K , quais são a taxa volumétrica de geração de calor requerida no interior do aquecedor e a sua correspondente temperatura no eixo central?

(c) Com todas as grandezas inalteradas, explore o efeito de variações de variações nos parâmetros das aletas ( N , L ,   t ) na taxa de transferência de calor, sujeito a restrição de que a espessura da aleta e o espaço entre aletas não podem ser inferiores a 2   m m .

Passo 1

O item (a) nos pede para determinar a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento da luva.

A taxa de calor pode ser calculado por:

q ' = ∆ T R t o t ' = ( T s - T ∞ ) R t o t '

Em que R t o t ' é a resistência térmica do sistema.

Para esse sistema temos uma resistência condutiva bidimensional e uma resistência convectiva entre as aletas e o ar externo.

A resistência condutiva é dada por:

R c o n d 2 D ' = 1 S ' k s

R c o n d 2 D ' = ln ⁡ 1,08 w D 2 π × 1 k s

Substituindo as propriedades dadas no enunciado:

R c o n d 2 D ' = ln ⁡ 1,08 × 40 × 10 - 3 20 × 10 - 3 2 π × 1 240

R c o n d 2 D ' = 5,11 × 10 - 4   m K / W

Vamos agora calcular a resistência de convecção entre as aletas e o ar externo.

R t , 0 ' = 1 ( η 0 h A t ' )

Vamos então primeiro calcular os coeficientes η 0 e A t ' para o sistema:

A t ' = N A f ' + A b '

A t ' = N ( 2 L + t ) + ( 4 w - N t )

A t ' = 16 × 2 × 20 × 10 - 3 + 4 × 10 - 3 + ( 4 × 40 × 10 - 3 - 16 × 4 × 10 - 3 )

A t ' = 0,8   m

E

η 0 = 1 - N A f ' A t ' ( 1 - η f )

η 0 = 1 - 16 × 2 × 20 × 10 - 3 + 4 × 10 - 3 0,8 × 1 - tanh ⁡ m L c m L c

Em que

m L c = 2 h k s t 1 / 2 × L + t 2

m L c = 2 × 500 240 × 4 × 10 - 3 1 / 2 × 20 × 10 - 3 + 4 × 10 - 3 2

m L c = 0,71

Então

η 0 = 1 - 0,704 0,8 × 1 - tanh ⁡ 0,71 0,71

η 0 = 0,877

Substituindo na resistência:

R t , 0 ' = 1 ( η 0 h A t ' )

R t , 0 ' = 1 ( 0,877 × 500 × 0,8 ) = 2,85 × 10 - 3   m K / W

A resistência total fica:

R t o t ' = R c o n d 2 D ' + R t , 0 '

R t o t ' = 5,11 × 10 - 4 + 2,85 × 10 - 3

R t o t ' = 3,36 × 10 - 3   m K / W

Aplicando na equação de taxa de transferência de calor:

q ' = ( T s - T ∞ ) R t o t '

q ' = ( 300 - 50 ) 3,36 × 10 - 3

q ' = 7,44 × 10 4   W / m

Passo 2

Vamos agora para o item (b). Devemos agora utilizar o resultado do item (a) para calcular a taxa de geração de calor do aquecedor e a temperatura do eixo central, considerando que o aquecedor é feito de cobre. Para isso, vamos começar calculando o coeficiente global:

U s = 1 A s ' R t o t '

U s = 1 ( π D ) × 3,36 × 10 - 3

U s = 4,73 × 10 3   W / m 2 K

A partir do coeficiente global podemos obter a taxa de geração de calor volumétrica pela relação:

q ˙ = 4 U s T s - T ∞ D

q ˙ = 4 × 4,73 × 10 3 × 300 - 50 20 × 10 - 3

q ˙ = 2,37 × 10 8   W / m 3

Vamos agora determinar a temperatura do eixo central. Para isso, vamos aplicar o perfil de temperaturas para um cilindro:

T r = q ˙ D 2 16 k s 1 - 4 r 2 D 2 + T s

T 0 = q ˙ D 2 16 k s 1 - 0 + T s

T 0 = 2,37 × 10 8 × 20 × 10 - 3 2 16 × 400 + 300

T 0 = 314,8 ° C

Passo 3

O item (c) nos pede agora para verificar qual é o efeito de variar os parâmetros das aletas ( N , L ,   t ) . Quando mudamos estes parâmetros ocorre alteração da resistência convectiva entre as aletas e o ar externo. Para isso, vamos aplicar as mesmas equações do item (a), usando agora três novas condições:

1   N = 16 , L = 40   m m ,   t = 4   m m ;

2   N = 32 , L = 20   m m ,   t = 4   m m e

3   N = 16 , L = 20   m m ,   t = 8   m m .

Para essas três condições vamos determinar as novas resistências e as taxas de transferência de calor correspondentes.

Condição (1):

R t , 0 ' = 1 ( η 0 h A t ' )

Vamos então primeiro calcular os coeficientes η 0 e A t ' para o sistema:

A t ' = N A f ' + A b '

A t ' = N ( 2 L + t ) + ( 4 w - N t )

A t ' = 16 × 2 × 40 × 10 - 3 + 4 × 10 - 3 + ( 4 × 40 × 10 - 3 - 16 × 4 × 10 - 3 )

A t ' = 1,44   m

E

η 0 = 1 - N A f ' A t ' ( 1 - η f )

η 0 = 1 - 16 × 2 × 40 × 10 - 3 + 4 × 10 - 3 1,44 × 1 - tanh ⁡ m L c m L c

Em que

m L c = 2 h k s t 1 / 2 × L + t 2

m L c = 2 × 500 240 × 4 × 10 - 3 1 / 2 × 40 × 10 - 3 + 4 × 10 - 3 2

m L c = 1,36

Então

η 0 = 1 - 1,34 1,44 × 1 - tanh ⁡ 1,36 1,36

η 0 = 0,67

Substituindo na resistência:

R t , 0 ' = 1 ( η 0 h A t ' )

R t , 0 ' = 1 ( 0,67 × 500 × 1,44 ) = 2,075 × 10 - 3   m K / W

A resistência total fica:

R t o t ' = R c o n d 2 D ' + R t , 0 '

R t o t ' = 5,11 × 10 - 4 + 2,075 × 10 - 3

R t o t ' = 2,59 × 10 - 3   m K / W

Aplicando na equação de taxa de transferência de calor:

q ' = ( T s - T ∞ ) R t o t '

q ' = ( 300 - 50 ) 2,59 × 10 - 3

q ' = 9,67 × 10 4   W / m

Passo 4

Condição (2):

R t , 0 ' = 1 ( η 0 h A t ' )

Vamos então primeiro calcular os coeficientes η 0 e A t ' para o sistema:

A t ' = N A f ' + A b '

A t ' = N ( 2 L + t ) + ( 4 w - N t )

A t ' = 32 × 2 × 20 × 10 - 3 + 4 × 10 - 3 + ( 4 × 40 × 10 - 3 - 32 × 4 × 10 - 3 )

A t ' = 1,44   m

E

η 0 = 1 - N A f ' A t ' ( 1 - η f )

η 0 = 1 - 1,408 1,44 × 1 - tanh ⁡ m L c m L c

Em que

m L c = 2 h k s t 1 / 2 × L + t 2

m L c = 2 × 500 240 × 4 × 10 - 3 1 / 2 × 20 × 10 - 3 + 4 × 10 - 3 2

m L c = 0,71

Então

η 0 = 1 - 1,408 1,44 × 1 - tanh ⁡ 0,71 0,71

η 0 = 0,863

Substituindo na resistência:

R t , 0 ' = 1 ( η 0 h A t ' )

R t , 0 ' = 1 ( 0,863 × 500 × 1,44 ) = 1,61 × 10 - 3   m K / W

A resistência total fica:

R t o t ' = R c o n d 2 D ' + R t , 0 '

R t o t ' = 5,11 × 10 - 4 + 1,61 × 10 - 3

R t o t ' = 2,12 × 10 - 3   m K / W

Aplicando na equação de taxa de transferência de calor:

q ' = ( T s - T ∞ ) R t o t '

q ' = ( 300 - 50 ) 2,12 × 10 - 3

q ' = 1,18 × 10 5   W / m

Passo 5

Condição (3):

R t , 0 ' = 1 ( η 0 h A t ' )

Vamos então primeiro calcular os coeficientes η 0 e A t ' para o sistema:

A t ' = N A f ' + A b '

A t ' = N ( 2 L + t ) + ( 4 w - N t )

A t ' = 16 × 2 × 20 × 10 - 3 + 8 × 10 - 3 + ( 4 × 40 × 10 - 3 - 16 × 8 × 10 - 3 )

A t ' = 0,8   m

E

η 0 = 1 - N A f ' A t ' ( 1 - η f )

η 0 = 1 - 0,768 0,8 × 1 - tanh ⁡ m L c m L c

Em que

m L c = 2 h k s t 1 / 2 × L + t 2

m L c = 2 × 500 240 × 8 × 10 - 3 1 / 2 × 20 × 10 - 3 + 8 × 10 - 3 2

m L c = 0,548

Então

η 0 = 1 - 0,768 0,8 × 1 - tanh ⁡ 0,548 0,548

η 0 = 0,914

Substituindo na resistência:

R t , 0 ' = 1 ( η 0 h A t ' )

R t , 0 ' = 1 ( 0,914 × 500 × 0,8 ) = 2,73 × 10 - 3   m K / W

A resistência total fica:

R t o t ' = R c o n d 2 D ' + R t , 0 '

R t o t ' = 5,11 × 10 - 4 + 2,73 × 10 - 3

R t o t ' = 3,25 × 10 - 3   m K / W

Aplicando na equação de taxa de transferência de calor:

q ' = ( T s - T ∞ ) R t o t '

q ' = ( 300 - 50 ) 3,25 × 10 - 3

q ' = 7,7 × 10 4   W / m

Pelos resultados podemos ver que a alteração da espessura da aleta t não tem uma grande influência na taxa de transferência de calor. Além disso, a variação do número de aletas se mostrou o fator mais relevante para aumentar a taxa de transferência de calor, enquanto que a variação do comprimento das aletas teve um menor impacto.

Resposta

(a) q ' = 7,44 × 10 4   W / m

(b) q ˙ = 2,37 × 10 8   W / m 3

T 0 = 314,8 ° C

(c) A alteração da espessura da aleta t não gera variação significativa na taxa de transferência de calor. Além disso, a variação do número de aletas N se mostrou o fator mais relevante para aumentar a taxa de transferência de calor, enquanto que a variação do comprimento L   das aletas apresentou uma variação em um grau pouco menor.

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