Enunciado

Seja o projeto B do Problema 3.151. Com o tempo, pode haver a deposição de poeira nas pequenas fendas que separam as aletas. Considere a formação de uma camada de poeira de espessura L p , como mostrado no desenho. Calcule e represente graficamente a taxa de transferência de calor total para o projeto B para camadas de poeira na faixa de 0   ≤   L p   ≤   5   m m . A condutividade térmica da poeira pode ser tomada como k p   =   0,032   W / ( m   ·   K ) . Inclua os efeitos da convecção nas extremidades.

Passo 1

Nessa questão nós temos as dimensões de uma matriz de aletas e da camada de poeira. Além das condutividades térmicas de alumínio e poeira, temperatura da base, temperatura do ar e coeficiente de transferência de calor. Existem dois caminhos de transferência de calor, um através da poeira e no ar e outro através da aleta. Onde o circuito térmico é:

E queremos encontrar a taxa de calor permitida para a espessura da camada de poeira na faixa de 0   ≤   L p   ≤   5   m m .

Passo 2

Para resolver essa questão, vamos assumir que:

(1) Estamos em condição de estado estacionário;

(2) A variação da temperatura através da espessura da aleta é desprezível;

(3) As propriedades são constantes;

(4) O coeficiente de transferência de calor é uniforme, inclusive nas pontas das aletas.

As resistências térmicas são dadas por:

R d , c o n d = L d k d A d = L d k d ( A p - N A c )

Onde,

A p = 53 × 10 - 3 m × 5 7 × 10 - 3 m = 3,02 × 10 - 3 m 2

N = 14 × 17 = 238

A c = w 2 = 10 - 6 m 2

E,

R c o n v = 1 h A d ,     R f , c o n d = L d k f N A c       e     R f i n s = R t , f N

Onde,

R t , f = θ b q f

Sempre que tiver " f "   vamos estar nos referindo à aleta e o " d " à poeira, beleza?

Passo 3

Onde R f   também pode ser representado por:

R f = cos h ⁡ m L f + h m k f sinh ⁡ m L f 4 h w 3 k sinh ⁡ m L f + h m k f cosh ⁡ m L f

E,

m = 4 h k f w 1 2 = 4 × 375 W m 2 . K 175 W m . K × 10 - 3 m 1 2 = 92,6 m - 1

L f = L - L d

Finalmente, temos que:

q = q p o e r i a + q a l e t a

q = T b - T ∞ R d , c o n d + R c o n v + T b - T ∞ R f , c o n d + R f i n s

Passo 4

Substituindo os valores nas equações acima e fazendo o cálculo para uma espessura de camada de poeira de L d   =   5   m m , temos:

R d , c o n d = 56,1   K / W

R c o n v = 0,958   K / W

R f , c o n d = 0,120   K / W

R t , f = 301   K / W

R f i n s = 1,26   K / W

E,

q = 75 ° C - 25 ° C 56,1 + 0,958 K W + 75 ° C - 25 ° C 0,120 + 1,26 K W = 0,876   W + 36,1 W

q = 37,0   W

A figura mostra a variação da taxa de calor permitida conforme a espessura da camada de poeira varia.

Resposta

q = 37,0   W

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