Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa - Capítulo 4.Problemas - Ex. 6

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Usando as relações para as resistências térmicas desenvolvidas no Capítulo 3, determine expressões para o fator de forma para as seguintes geometrias:

a) Parede plana, casca cilíndrica e casca esférica.

b) Esfera isotérmica de diâmetro D enterrada em um meio infinito.

Passo 1

Letra a)

Parede Plana:

Temos que a relação entre a resistência térmica e o fator de forma, S , se dá por:

R = 1 S k

Para parede plana, a equação da resistência térmica é:

R = L k A

Sendo:

k a condutividade térmica;

A a área da seção;

L o comprimento.

Igualando as equações, temos:

1 S k = L k A

S = A L

Passo 2

Casca Cilíndrica:

A resistência térmica da casca cilíndrica é:

R = ln ⁡ r 2 r 1 2 π L k

Sendo r 1 e r 2 os raios interno e externo do cilindro, igualando à relação entre a resistência térmica e o fator de forma, temos:

1 S k = ln ⁡ r 2 r 1 2 π L k

S = 2 π L ln ⁡ r 2 r 1

Passo 3

Casca Esférica:

A resistência térmica da casca cilíndrica é:

R = 1 4 π k 1 r 1 - 1 r 2

Igualando à relação entre a resistência térmica e o fator de forma, temos:

1 S k = 1 4 π k 1 r 1 - 1 r 2

S = 4 π 1 r 1 - 1 r 2

Passo 4

Letra b)

Aplicando a lei de Fourier para a casca esférica, temos:

q r = - k 4 π r 2 d T d r

Como a distribuição de temperatura varia de T 1 até T 2 e a restrição do fator de forma para a esfera é dada por  z = D 2 , separando as variáveis e integrando, temos:

- q r 4 π k ∫ D 2 ∞ d r r 2 = ∫ T 1 T 2 d T

- q r 4 π k - 1 r ∞ D 2 = ( T 2 - T 1 )

- q r 4 π k 0 - 2 D = ( T 2 - T 1 )

q r = 4 π k D 2 T 2 - T 1

q r = 2 π k D ∆ T

Como a taxa de transferência de calor se dá por:

q = ∆ T R  

E

R = 1 S k

Temos que:

q = ∆ T S k

Igualando as duas equações:

∆ T S k = 2 π k D ∆ T

S = 2 π D

Resposta

a )   P a r e d e   P l a n a :   S = A L

C a s c a   C i l í n d r i c a :   S = 2 π L ln ⁡ r 2 r 1

C a s c a   E s f é r i c a :   S = 4 π 1 r 1 - 1 r 2

b )   S = 2 π D

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