Enunciado

Usando os resultados numéricos obtidos por Blasius (Tabela 9.1), avalie a distribuição de tensão de cisalhamento em uma camada limite laminar sobre uma placa plana. Trace τ / τ w versus y / δ . Compare com os resultados deduzidos a partir do perfil de velocidade aproximado parabólico dado no Problema 9.10.

Passo 1

A equação de um perfil parabólico tem essa carinha:

u U = 2 y δ - y δ 2

O que o enunciado está pedindo, na real, é para a gente achar, para esse perfil e para os dados de Blasius, uma relação entre τ τ W e y δ (uma equação que relaciona os dois). Com isso a gente acha duas funções. Nosso objetivo é plotar os gráficos delas para comparar.

Passo 2

Vamos começar achando a relação de τ τ W e y δ para o caso de Blasius. Para ele:

u = U f ' η ,     η = y   U ν x

A gente pode lembrar que a lei da viscosidade para um fluído de Newton diz que:

τ = μ ∂ u ∂ y

Dá para derivar nossa expressão de u na expressão da tensão de de cisalhamento τ :

τ = μ ∂ U f ' η ∂ y

Usando a regra da cadeia:

τ = μ U U ν x   f ' ' ( η )

Passo 3

Achamos uma relação entre τ e η . Precisamos achar quem é τ τ w , logo quem é τ w .

Lembrando que τ w é o cisalhamento na parede da placa, ou seja, onde y = 0 :

y = 0 ∴ η = 0 ⋅ U ν x = 0

τ w = μ U U ν x f ' ' ( 0 )

Agora só dividir τ por τ w :

τ τ w = μ U U ν x   f ' ' η μ U U ν x f ' ' 0 =   f ' ' η f ' ' 0

Pela tabela dos resultados numéricos a gente sabe f ' ' ( 0 ) , por isso nossa expressão fica:

τ τ w =   f ' ' η 0,3321

A gente pode dizer que em η = 5 , δ = y , assim dá para escrever:

y δ = 1 = η 5 ∴ y δ = η 5

Com isso, a nossa primeira função fica com essa carinha:

τ τ w =   f ' ' 5 y δ 0,3321 =   f ' ' η 0,3321

Podemos plotar esse gráfico variando os valores de f ' ' η , pela tabela dos resultados numéricos de Blasius.

Passo 4

Agora precisamos achar a nossa expressão para o caso do perfil parabólico. Vamos usar o mesmo raciocínio:

u U = 2 y δ - y δ 2 ∴ u = U 2 y δ - y δ 2

τ = μ ∂ u ∂ y ∴ τ = μ U 2 δ - 2 y δ 2 = μ U 2 δ 1 - y δ

Passo 5

Como τ w , acontece em y = 0 :

τ w = μ U 2 δ

Dividindo uma expressão pela outra:

τ τ w = μ U 2 δ 1 - y δ μ U 2 δ = 1 - y δ

Prontinho, agora é só variar o y para plotar nosso gráfico.

Passo 6

Temos então a expressão para o caso de Blasius, onde a gente precisa usar os resultados numéricos de f ' ' ( η ) para plotar o gráfico:

τ τ w =   f ' ' η 0,3321

E temos a expressão para o caso do perfil parabólico, onde só precisamos variar o y :

τ τ w = 1 - y δ

Plotando essas duas funções juntas para comparar:

Resposta

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