Enunciado

Usando os resultados do Problema 4-43 e a definição fundamental da taxa de deformação linear (a taxa de aumento do comprimento por unidade de comprimento), deduza uma expressão para a taxa de deformação linear na direção x ( ε x x ) das partículas de fluido localizadas no eixo central do canal. Compare seu resultado com a expressão geral de ε x x em termos do campo de velocidade, ou seja, ε x x = ∂ u / ∂ x . (Sugestão: Tome o limite quando o tempo t → 0 . Talvez seja preciso aplicar uma expansão em série truncada para e b t .)

Passo 1

Vamos começar listando as hipóteses a serem utilizadas no problema:

  1. O escoamento está em regime permanente.
  2. O escoamento é bidimensional.

Vamos lembrar que a taxa de deformação linear é dada por:

ε x x = d d t Δ l l 0

Para o caso do problema em questão, temos que:

ε x x = d d x Δ ξ ξ = d d x Δ ξ x B - x A

Passo 2

Do Problema 4-43, temos que Δ ξ = ( x B - x A ) ( e b t - 1 ) . Assim:

ε x x = d d t x B - x A e b t - 1 x B - x A = d d t e b t - 1

No limite para t → 0 , truncamos os dois primeiros termos para uma expansão em série de e b t :

e b t = ∑ n = 0 ∞ b t n n ! = 1 + b t + b t 2 2 ! + … ≈ 1 + b t

Para um valor pequeno de t , podemos aproximar d / d t = 1 / t , e temos assim:

ε x x ≈ 1 t 1 + b t - 1 ≈ b

Passo 3

Comparando com a expressão geral temos:

ε x x = ∂ u ∂ x = ∂ U 0 + b x ∂ x = b

Assim nossa aproximação a partir da equação da variação do deslocamento entre partículas está satisfatória em comparação com a expressão geral para ε x x

Resposta

ε x x = b

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