Enunciado

Você abre a torneira da cozinha muito lentamento, de modo que um filete de água escoa para a pia. Você nota que o escoamento é laminar e que isso se reforça para os primeiros 50 mm de descida. Para medir a vazão, você leva três minutos para encher uma garrafa de 1 L, e você estima que o filete de água tem 5 mm de diâmetro. Considerando que a velocidade em qualquer seção transversal seja uniforme e desprezando os efeitos viscosos, deduza expressões e construa um gráico para as variações da velocidade da corrente e do diâmetro como função de z (adote a origem de coordenadas na saída da torneira). Qual a velocidade e o diâmetro do filete 50 mm abaixo desse ponto?

Passo 1

Tá legal, vamos começar o exercício calculando a vazão do sistema:

Q = 1   L 3   m i n 1   m i n 60   s 1   m 3 1000   L → Q = 5,55 . 10 - 6   m 3 / s

Agora conseguimos calcular a velocidade na saída da torneira:

Q = v 0 A → v 0 = Q A = Q π D 2 4 = 5,55 . 10 - 6 π 0,005 2 4 → v 0 = 0,283   m / s

Passo 2

Agora vamos aplicar Bernoulli entre os pontos de saída da torneira (0) e qualquer ponto longe da saída:

p a t m ρ + v 0 2 2 + g z = p a t m ρ + v 2 + g ( 0 )

Isolando v temos:

v = v 0 2 + 2 g z

A velocidade do filete para z = 50   m m é:

v = 0,283 2 + 2 ( 9,8 ) ( 0,05 ) → v = 1,03   m / s

O gráfico que representa a velocidade em função da distância z é:

Passo 3

Agora, para obter uma expressão para o diâmetro em função de z , podemos usar a conservação da massa no sistema entre os pontos de saída da torneira e um ponto qualquer mais distante:

Q 0 = Q → v 0 A 0 = v A → v 0 π D 0 2 4 = v π D 2 4 → D = D 0 v 0 v

Agora, substituindo a expressão para a velocidade encontrada no passo 2, temos:

D = D 0 v 0 v → D = D 0 v 0 v 0 2 + 2 g z

E o diâmetro após 50 mm de descida será:

D = 0,0 0 5 0,283 0,283 2 + 2 ( 9,8 ) ( 0,005 ) → D = 2,62   m m

O gráfico que representa o diâmetro em função de z é:

Resposta

v = 1,03   m / s

D = 2,62   m m

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