Análise Dimensional e de Unidades

Teoria Completa

Já vimos as grandezas fundamentais no SI e seus prefixos mais usados.

Aqui nós vamos aprender que podemos gerar outras grandezas combinando as grandezas fundamentais massa, comprimento e tempo.

Saca só esse exemplo! A grandeza velocidade é definida assim:

v = Δ x Δ t

Onde o Δ x é o deslocamento, cuja unidade no SI é o metro e o Δ t é o intervalo de tempo, cuja unidade no SI é o segundo.

Será que temos como descobrir a unidade de v ?

Sim!

Podemos fazer isso através da Análise Dimensional. Vamos ver como!

Primeiro, temos que saber que, em Análise Dimensional, representamos as unidades das grandezas massa, comprimento e tempo da seguinte forma:

  • Massa: M
  • Comprimento: L
  • Tempo: T

Outra coisinha! Aqui em Análise Dimensional, usamos a seguinte notação:

A → G r a n d e z a   f í s i c a

A → u n i d a d e   d i m e n s i o n a l   d e   A

Pronto! Agora vamos voltar ao nosso problema. Podemos escrever isso aqui seguindo a notação que acabamos de aprender:

Δ x = L

Δ t = T

Logo, a unidade de velocidade é descrita como:

[ v ] = L T

No SI, sabemos que a unidade de comprimento é m e a de tempo é s . Logo, podemos afirmar que a unidade da velocidade no SI é m / s .

Observação:

Definimos a unidade dimensional de um número real qualquer n como sendo

n = 1

Ou seja, os números não são relevantes para a análise, pois não apresentam dimensão (adimensionais).

Por exemplo, se tivermos um número junto de uma grandeza como velocidade, a dimensão será a própria dimensão da velocidade:

n v = L T

Regras básicas para operações com grandezas

Se lembra daquela regra da titia de matemática? “Não pode somar banana com abacaxi”?

A regra continua valendo aqui: só podemos somar ou subtrair duas grandezas se elas tiverem a mesma unidade dimensional.

Mas podemos multiplicar e dividir para gerar novas grandezas, como nós fizemos no caso da velocidade.

Resuminho:

S o m a r → s ó   u n i d a d e s   d i m e n s i o n a l m e n t e   i g u a i s

S u b t r a i r → s ó   u n i d a d e s   d i m e n s i o n a l m e n t e   i g u a i s

M u l t i p l i c a r → q u a l q u e r   u n i d a d e   d i m e n s i o n a l

D i v i d i r → q u a l q u e r   u n i d a d e   d i m e n s i o n a l

Expandir

Exercício Resolvido #1

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp. 27 – 1.10

Quais são as unidades de volume? Suponha que um aluno diga que o volume de um cilindro com altura h e raio r seja dado por π r 3 h . Explique por que isto está errado

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Passo 1

Para descobrir as unidades de volume podemos pegar um volume simples de calcular para analisar, como o volume de um cubo por exemplo.

O cubo possui 3 lados iguais e nesse caso como a gente faz pra calcular o volume?

Passo 2

Para calcular o volume de um cubo temos:

V c u b o = l a d o   x   l a d o   x   l a d o

V c u b o = l a d o 3

Passo 3

Como a dimensão de cada lado é um comprimento linear a gente pode dizer que um lado tem a dimensão de um comprimento L , ou seja, sempre será uma medida de comprimento como por exemplo: milímetros, centímetros ou metros.

l a d o = L 1

Logo se calculamos o volume do cubo que é lado ao cubo, temos também a sua dimensão que é:

l a d o 3 = L 3

Sendo assim a unidade do volume do cubo é comprimento ao cubo:

[ V c u b o ] = L 3

Passo 4

Como o volume de um cubo tem a mesma dimensão que qualquer outro volume temos que:

V = L 3

Passo 5

Considerando um volume de um cilindro como π r 3 h , vamos analisar dimensionalmente essa fórmula:

π = 1

r 3 = L 3

h = L 1

Passo 6

Assim o volume do cilindro seria:

V c i l i n d r o =   π r 3 h

V c i l i n d r o = 1   × L 3 ×   L 1

[ V c i l i n d r o ] = L 4  

Cara mas e aí, é possível que o volume tenha uma dimensão de L 4 ?   Como vimos o volume tem dimensões cúbicas do tipo L 3 , então não seria possível esse volume pro cilindro então a afirmativa é falsa.

Resposta

V = L 3

A f i r m a t i v a   f a l s a

Exercício Resolvido #2

TIPLER,P - Física para Cientistas e Engenheiros, Vol 1,6ª Edição, LTC,2009., pp. 22 – 8

Força tem dimensões de massa vezes aceleração. Aceleração tem dimensões de rapidez divida por tempo. Pressão é definida como força dividida por área. Quais são as dimensões da pressão? Expresse a pressão em termos das unidades básicas do SI quilograma, metro e segundo.

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Passo 1

A pergunta é sobre as dimensões da pressão, porém antes precisamos saber as dimensões da força e área

Passo 2

Segundo o enunciado, temos os seguintes dados

F → = m a s s a   x   a →

Analisando a dimensão da massa temos:

[ m a s s a ] = M 1

Analisando as dimensões da aceleração temos:

[ a ] → = m e t r o s e g u n d o 2

[ a ] → = L 1 T 2

Passo 3

Juntando as dimensões de aceleração e massa, conseguimos encontrar a dimensão da Força

[ F ] → = M 1   x L 1 T 2  

[ F ] → = M 1 L 1 T 2

Passo 4

Para calcular as dimensões de área, podemos pensar na área de um campo de futebol:

S á r e a = l a d o   x   l a d o

Analisando as dimensões de um lado temos:

l a d o = L 1

Passo 5

Juntando as dimensões de um lado, conseguimos encontrar as dimensões da área:

[ S a r e a ] = L 2

Agora que já sabemos as dimensões de força e área, podemos descobrir as dimensões de pressão

P r e s s ã o = F o r ç a á r e a

P r e s s ã o = M 1 L 1 T 2   x 1 L 2

P r e s s ã o = M 1 T 2 L 1 ∴ k g s 2 m

Resposta

  P r e s s ã o = M 1 T 2 L 1 ∴ k g s 2 m

Exercício Resolvido #3

TIPLER,P.- Física para Cientistas e Engenheiros, Vol 1,6ª Edição, LTC,2009., pp. 23 – 37

A lei de decaimento radioativo é N t = N 0 e - λ t onde N 0 é o número de núcleos radioativos em t = 0 , N t é o número de núcleos radioativos no tempo t e λ é uma quantidade conhecida como a constante de decaimento. Qual é a dimensão de λ ?

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Passo 1

Para começar a questão temos que analisar a dimensão do lado esquerdo e do lado direito da equação dada, pois como se trata de uma igualdade, a dimensão também é igual.

N t = N 0 e - λ t

Então:

N t = [ N 0 e - λ t ]

Passo 2

Como N t é o número de núcleos radiotivos no tempo t e N 0 é o mesmo número quando t = 0   , e já que ambos são números a dimensão deles é:

N 0 = N t = 1

Passo 3

Como sabemos que o lado esquerdo não possui dimensão, concluímos que o lado direito também não possui.

N 0 e - λ t = 1

Como N 0 é adimensional, e - λ t também é.

e - λ t = 1

Passo 4

Se N t = 1 , a galera que acompanha N 0 precisa formar dimensão 1 também e portanto e - λ t não deve possuir dimensão. Bom a gente sabe que e é uma constante então só resta λ t

Que precisa ter dimensão 1, então faremos:

λ t = 1

E t é o tempo que tem dimensão de tempo T :

λ   × T 1 = 1

Sendo assim pra satisfazer a igualdade a constante λ deve ter a dimensão:

λ = 1 T 1

Resposta

λ = 1 T 1

Exercício Resolvido #4

TIPLER,P.- Física para Cientistas e Engenheiros Vol 1,6ª Edição, LTC,2009., pp. 23 – 23

Nas equações seguintes, a distância x está em metros, o tempo t está em segundos e a velocidade v está em metros por segundo. Quais são as unidades SI das constantes C 1 e C 2 ?

  1. x = C 1 + C 2 t
  2. x = 1 2   C 1 t 2
  3. v 2 = 2 C 1 x
  4. x = C 1 c o s ( C 2 t )
  5. v 2 = 2 C 1 v - C 2 x 3
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Passo 1

Nessa questão é importante lembrar as propriedades quando relacionamos duas grandezas: quando somadas as dimensões são iguais, quando multiplicadas as dimensões se somam.

Como a distância x , o tempo t e a velocidade v são usadas em várias alternativas, vamos identificar suas dimensões, o tempo independente de ser segundo ou hora é uma unidade de tempo T e a distância x seja em metros ou quilômetros ou qualquer outra unidade, tem dimensão de unidade linear de comprimento [ L 1 ] .

t = T 1

x = L 1

lembra que a velocidade é dada no S.I pelas unidades m / s ? Bom metro é uma unidade de comprimento linear L 1 , e segundo é uma unidade de tempo T 1 .

v = L 1 T 1

Passo 2

Alternativa a) x = C 1 + C 2 t

C 1   e C 2 t precisam ter a unidade de x , pois os 2 termos somados precisam ter mesma unidade e os termos da igualdade precisam ser iguais, logo todo mundo é igual

[ x ] = [ C 1 ] + [ C 2 t ]

Como se trata de soma de termos, temos as três dimensões iguais e aqui conhecemos a unidade do tempo que é T 1 e também de x   que é comprimento linear L 1 .

L 1 = C 1 + [ C 2 ] T 1

Igualando cada constante temos:

C 1 = L 1

C 2 = L 1 T 1

Convertendo as unidades para o S . I (Sistema Internacional)

C 1 = m

C 2 = m / s

Passo 3

Alternativa b) x = 1 2   C 1 t 2  

x = [ 1 2   C 1 t 2 ]

Como sabemos a dimensão do lado esquerdo, basta igualar com o lado direito e aqui vamos substituir a dimensão de x como L 1 e do tempo, mas como está ao quadrado o que aparecerá será algo do tipo [ T 2 ] .

[ C 1 ] T 2 = L 1  

Ué ? Mas é o 1 2 ?

Números são adimensionais!!! Não são importantes para essa questão!

C 1 = L 1 T 2

No S.I.

C 1 = m / s 2

Passo 4

Alternativa c) v 2 = 2 C 1 x

v 2 = 2 C 1 x

Substituindo as dimensões que já conhecemos que são as dimensões da velocidade e da distância x temos:

L 2 T 2 = C 1 L 1

Isolando a constante:

C 1 = L 1 T 2

No S.I.

C 1 = m / s 2

Passo 5

Alternativa d) x = C 1 c o s ( C 2 t )

x = C 1 c o s ( C 2 t )

Substituindo as dimensões que já conhecemos temos:

L 1 = C 1 c o s ⁡ ( C 2 T 1 )

Essa é um pouquinho diferente das outras, mas nada que você não seja capaz de resolver . O que está dentro do cosseno é um ângulo e os ângulos são adimensionais e portanto o produto das unidades C 2 T 1 devem ser adimensionais também:

C 2 T 1 = 1

Logo:

C 2 = 1 T 1

Após descobrir C 2 , o lado esquerdo precisa ser igual ao direito. Como a parte do cos ⁡ C 2 t é adimensional, temos:

[ C 1 ] = L 1

No S.I.

C 1 = m

C 2 = 1 / s

Passo 6

Alternativa e) v 2 = 2 C 1 v - C 2 x 3

v 2 = 2 C 1 v - C 2 x 3

Se lembra da propriedade da soma? Viu como ela é importante? Esquece dela não! Vamos usa-la novamente aqui, a galera que se soma deve ter as mesmas unidades.

Substituindo as dimensões que já conhecemos:

L 2 T 2 = C 1 L 1 T 1 - C 2 3 L 3

Lembrando que os números não são importantes quando queremos saber as dimensões, assim como os sinais !!

Descobrindo a primeira constante:

C 1 L 1 T 1 = L 2 T 2

C 1 = L 1 T 1

Descobrindo a segunda constante:

C 2 3 L 3 = L 2 T 2

C 2 = 1 L 1 3 T 2 3

No S.I.

C 1 = m / s

C 2 = 1 m 1 / 3 s 2 / 3

Resposta

Alternativa (a)

C 1 = m

C 2 = m / s

Alternatva (b) C 1 = m / s 2

Alternativa (c) C 1 = m / s 2

Alternativa (d) C 1 = m

C 2 = 1 / s

Alternativa (e) C 1 = m / s

C 2 = 1 m 1 / 3 s 2 / 3

Exercício Resolvido #5

TIPLER,P. Física para Cientistas e Engenheiros, Vol 1,6ª Edição, LTC,2009., pp. 23 – 38.
  1. A unidade SI de força, o quilograma-metro por segundo ao quadrado ( k g   x   m s 2 ), é chamada de Newton N . Encontre as dimensões e as unidades SI da constante G na lei de Newton da gravitação, F → = G m 1 m 2 r 2
  2. A quantidade de movimento de um objeto é o produto de sua velocidade pela sua massa. Mostre que a quantidade de movimento tem as dimensões de força multiplicada pelo tempo.
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Passo 1

Alternativa a)

Como ele está interessado na dimensão de G , precisamos saber todas as outras dimensões. Para começar, vamos transformar todas as grandezas para o sistema SI.

Passo 2

Achando as dimensões da força:

F → = k g   x   m s 2

F → = M 1 L 1 T 2

Passo 3

Achando as dimensões de m 1   e   m 2 :

m = M 1

Passo 4

Achando as dimensões de r 2 :

[ r 2 ] = L 2

Passo 5

Depois de descobrir cada dimensão, podemos colocar todas na equação:

F → = G m 1 m 2 r 2

F → = G m 1 m 2 r 2

Substituindo o que encontramos temos:

M 1 L 1 T 2 = G M 1 M 1 L 2

Isolando G :

G = L 3 M 1 T 2

Passo 6

Alternativa b)

O que precisamos encontrar são as dimensões de massa junto com velocidade e de força junto com tempo. Se encontrarmos a mesma resposta nas duas buscas ... Pimba! Terminamos a questão

Passo 7

Encontrando as dimensões de quantidade de movimento.

Sabemos que:

Q → = m v →

Logo:

Q → = m [ v → ]

Como são grandezas conhecidas temos

Q → = M 1 L 1 T 1

Passo 8

Encontrando as dimensões de força multiplica por tempo

Sabendo as dimensões de força temos:

F → = M 1 L 1 T 2

Sabendo as dimensões de tempo temos:

t = T 1

Logo:

F → t = M 1 L 1 T 1

Viu só? Achamos o mesmo resultado!

Resposta

G = L 3 M 1 T 2

Exercício Resolvido #6

TIPLER,P.- Física para Cientistas e Engenheiros, Vol 1,6ª Edição, LTC,2009., pp. 23 – 44.

A terceira lei de Kepler relaciona o período de um planeta com o raio de sua órbita r , a constante G da lei de Newton da gravitação ( F = G m 1 m 2 r 2 ) e a massa do sol M S O L . Qual a combinação destes fatores fornece as dimensões corretas para o período de um planeta ?

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Passo 1

Precisamos chegar na combinação correta dos fatores pra gente encontrar a dimensão do período, e a unidade desse período é o tempo. Usaremos aqui na análise a massa dos corpos com dimensão massa e a distância que tem dimensão de comprimento.

Passo 2

Vamos dar uma boa olhada na equação da força gravitacional.

F = G m 1 M s o l r 2

Daí dessa equação são conhecidas duas dimensões, ambas as massas tem a unidade de massa e a distância tem unidade de comprimento.

m 1 = M s o l = M

r 2 = [ L 2 ]

Opa mas e o G ? Como a gente descobre sua dimensão? Vamos pegar a equação e mexer nela um pouquinho, ela vai ficar com essa carinha aqui.

G = F r 2 m 1 m 2

Conhecemos algumas unidades mas a dimensão da força pode não ser tão simples de visualizar, vamos usar a lei de newton pra entender melhor essa dimensão.

F = m . a

A massa tem unidade de massa M e a aceleração tem unidade de comprimento por tempo ao quadrado L / T 2   , logo a unidade da força é.

F = M L T 2

Por fim encontramos a dimensão de G .

G = M 1 L 1 T 2 L 2 M 1 M 1

Agrupando as unidades e eliminando alguns termos semelhantes temos:

G = L 3 M 1 T 2

Passo 3

O enunciado nos diz que o período do planeta é relacionado com a distânicia r com a constante gravitacional G e com a massa do sol, mas não como é essa relação. Vamos escrever então essa relação de uma forma genérica elevando cada uma das grandezas á um expoente que precisaremos calcular pra chegar na dimensão tempo.

T = C r α G β M S O L γ

Onde C é uma constante adimensional qualquer.

Substituindo as dimensões encontradas temos:

T = L α L 3 M T 2 β M γ

Se liga que agora é o pulo do gato da questão.

As unidades do lado esquerdo da equação precisam ser as mesmas que as do lado direito. Ué, mas como se não temos nem M e muito menos L do lado esquerda? Se liga, temos sim. Lembra que qualquer número elevado á 0 é 1? Isso vale pras nossas unidades também:

M 0 = 1

L 0 = 1

Então olha essa galera aí multiplicando o T .

M 0 L 0 T = L α L 3 M T 2 β M γ

Agora é trabalhar os expoentes do outro lado e deixar as unidades separadas, primeiro vamos abrir a galera que tá sob o expoente β .

M 0 L 0 T = L α L 3 β M β T 2 β M γ

Agora deixaremos as unidades juntas, comprimento com comprimento, massa com massa e tempo com tempo.

M 0 L 0 T = L α + 3 β 1 T 2 β M γ - β = L α + 3 β T - 2 β M γ - β

Passo 4

A partir desses expoentes vamos montar um sisteminha, o expoente que aparece em uma unidade de um lado deve ser igual ao que aparece do outro lado.

M 0 = M γ - β

L 0 = L α + 3 β

T 1 = T - 2 β

Igualando os expoentes temos esse sisteminha aquiP

0 =   γ -   β 0 =   α + 3 β 1 =   - 2 β

Resolvendo o sistema encontramos os seguintes valores:

α = 3 2 β =   - 1 2 γ = - 1 2

Passo 5

Ufa, finalmente chegamos ao final! Agora é só substituir os valores encontados na equação original:

T = C r 3 2 G - 1 2 M S O L - 1 2

Resposta

T = C r 3 2 G - 1 2 M S O L - 1 2

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