Enunciado

( a ) Um ponto luminoso está se movendo com velocidade v O em direção a um espelho esférico de raio de curvatura r ao longo do eixo central do espelho. Mostre que a imagem do ponto está se movendo com uma velocidade dada por

v I = - r 2 p - r 2 v O ,

Em que p é a distância instantânea entre o ponto luminoso e o espelho. Suponha agora que o espelho é côncavo, com um raio de curvatura r = 15   c m , que v O = 5,0   c m / s   . Determine a velocidade da imagem v I ( b ) para p = 30   c m (bem mais longe do espelho que o ponto focal), ( c ) p = 8,0   c m (ligeiramente mais longe do espelho que o ponto focal) e ( d ) p = 10   m m (muito perto do espelho).

Passo 1

(a) Como precisamos encontrar a velocidade da imagem, vamos começar pela equação de espelhos esféricos:

1 f = 1 p + 1 i

Isolamos a distância da imagem i :

i = p f p - f

e usamos a relação entre o raio de curvatura e a distância focal:

r = 2 f

Ficando com:

i = p r 2 p - r 2 = p r 2 2 p - r 2 = p r 2 2 2 p - r = p r 2 p - r

Passo 2

E então derivamos em relação ao tempo:

d i d t = d d t p r 2 p - r = r d p d t 2 p - r - 2 d p d t 2 p - r 2

E usando v O = d p d t que é a velocidade do objeto, ficamos com:

d i d t = r v O 2 p - r - 2 p r v O 2 p - r 2 = 2 p r v O - r 2 v O - 2 p r v O 2 p - r 2 = - r 2 v O 2 p - r 2

d i d t = r 2 p - r 2 v O

Podemos chamar d i / d t de v I já que se trata da velocidade da imagem, e finalmente a gente fica com:

v I = r 2 p - r 2 v O

Passo 3

(b) Substituindo os valores dados na questão:

v I = 15   c m 2 30   c m - 15   c m 2 5,0   c m / s

v I = 0,56   c m / s

Passo 4

(c) Mudando p para 8,0   c m :

v I = 15   c m 2 8,0   c m - 15   c m 2 5,0   c m / s

v I = 11   m / s

Passo 5

(d) E mudando p para 1,0   c m

v I = 15   c m 2 1 , 0   c m - 15   c m 2 5,0   c m / s

v I = 6,7   c m / s

Resposta

( b ) v I = 0,56   c m / s

c v I = 11   m / s

( d ) v I = 5,0   c m / s

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