Enunciado

02. No problema da barreira retangular (Seç. 10.4 ), calcule a amplitude de reflexão R = B / A e a probabilidade de reflexão R . Mostre que R + I = 1 .

Passo 1

Vamos detonar com esse problema juntos! Vem comigo.

Para podermos calcular R temos que encontrar uma expressão para B , já que o livro fornece uma para A , dada por:

A = z 0 4 n z n + 1 2 1 - n - 1 n + 1 2 z 2 E

E para achar uma expressão para B vamos usar as equações 10.80 e 10.82 .

Agora a probabilidade de reflexão R , tereremos que tomar o módulo quadrado de R , logo:

R = R 2

Tendo achado essa probabilidade vamos somá-la com a probabilidade de transmissão I e mostrar que essa soma da um.

Temos:

I = t 2 t 2 + 4 r sen 2 ⁡ ( k a )           ( t ≡ 1 - r )

Umas equações que vai nos ajudar nesse problema são as equações 10.26 , dadas por:

r = n - 1 n + 1 2             t = 4 n n + 1 2 = 1 - r

Passo 2

Vamos então primeiro encontrar B .

As equações 10.80 são as seguintes:

A + B = C + D

A - B = n ( C - D )

Subtraindo uma equação da outra, temos:

2 B = C + D - n C - D

⇒ B = 1 2 C 1 - n + D ( 1 + n )

Passo 3

Agora vamos usar as equações 10.82 para substituir C e D na expressão de B . As equações 10.82 , são dadas por:

C = z 0 2 n z ( n + 1 ) E

D = z z 0 2 n ( n - 1 ) E

Com isso nossa expressão para B fica assim.

B = 1 2 z 0 2 n z ( n + 1 ) E 1 - n + z z 0 2 n ( n - 1 ) E ( 1 + n )

= 1 2 z 0 2 n z n + 1 E 1 - n - z z 0 2 n ( 1 - n ) E ( 1 + n )

= z 0 4 n E ( 1 - n 2 ) z - z ( 1 - n 2 )

= z 0 4 n E 1 - n 2 1 z - z

Então temos que:

B = z 0 4 n E 1 - n ( 1 + n ) 1 - z 2 z

Passo 4

Agora podemos calcular R , temos:

R = B A

= z 0 4 n E 1 - n ( 1 + n ) 1 - z 2 z z 0 4 n z n + 1 2 1 - n - 1 n + 1 2 z 2 E

= 1 - n ( 1 - z 2 ) ( n + 1 ) 1 - n - 1 n + 1 2 z 2

= n - 1 n + 1 ( z 2 - 1 ) 1 - n - 1 n + 1 2 z 2

Agora usando as seguintes notações.

z 0 = e i k 0 a           z = e i k a

Temos:

R = n - 1 n + 1 ( e 2 i k a - 1 ) 1 - n - 1 n + 1 2 e 2 i k a

Agora usando a usando a definição de r que mostrei no passo 1 e fazendo Δ = 2 k a , temos:

R = n - 1 n + 1 ( e i Δ - 1 ) 1 - r e i Δ

Passo 5

Agora vamos encontrar a probabilidade R . Temos:

R = R 2

= n - 1 n + 1 ( e i Δ - 1 ) 1 - r e i Δ ⋅ n - 1 n + 1 ( e - i Δ - 1 ) 1 - r e - i Δ

= n - 1 n + 1 2 1 + - e i Δ - e - i Δ + 1 1 - r e - i Δ - r e i Δ + r 2

n - 1 n + 1 2 - ( e i Δ + e - i Δ ) + 2 1 - r ( e - i Δ + e i Δ ) + r 2

Agora vamos brincar um pouco com os termos das exponenciais, como você pode ver o que temos encima temos embaixo.

Passo 6

Temos o seguinte:

e i Δ + e - i Δ = cos ⁡ Δ + i sen ⁡ Δ + cos ⁡ Δ - i sen ⁡ Δ

= 2 cos ⁡ Δ

Só que Δ = 2 k a , então:

2 cos ⁡ 2 k a = 2 ( cos 2 ⁡ k a - sen 2 ⁡ k a )

Usando o fato de que cos 2 ⁡ a = 1 - sen 2 ⁡ a , temos:

2 ( 1 - sen 2 ⁡ k a - sen 2 ⁡ k a )

= 2 - 4 sen 2 ⁡ k a

Vamos substituir isso na nossa expressão de R , temos:

R = n - 1 n + 1 2 - ( 2 - 4 sen 2 ⁡ k a ) + 2 1 - r ( 2 - 4 sen 2 ⁡ k a ) + r 2

= n - 1 n + 1 2 4 sen 2 ⁡ k a 1 - 2 r + 4 r sen 2 ⁡ k a + r 2

Do passo 1 vimos que:

r = n - 1 n + 1 2

E que

t = 1 - r

⇒ t 2 = 1 - 2 r + r 2

Então temos que:

R = 4 r sen 2 ⁡ k a t 2 + 4 r sen 2 ⁡ k a

Passo 7

Agora temos que mostrar que R + I = 1 , vamos lá então.

R + I

= 4 r sen 2 ⁡ k a t 2 + 4 r sen 2 ⁡ k a + t 2 t 2 + 4 r sen 2 ⁡ k a

= t 2 + 4 r sen 2 ⁡ k a t 2 + 4 r sen 2 ⁡ k a = 1

Prontinho, tudo feito!

Resposta

R = n - 1 n + 1 ( e i Δ - 1 ) 1 - r e i Δ

R = 4 r sen 2 ⁡ k a t 2 + 4 r sen 2 ⁡ k a

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