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Exercícios Resolvidos de Alaor Chaves - Mecânica 1ª Ed.

Enunciado

Física - Alaor Chaves - Mecânica 1ª Ed. - 11.Exercícios e Problemas - 19

11.19E Aplique a fórmula obtida no Problema 11.18 para o sistema Terra-Lua e calcule a diferença entre o período da Lua e o de um satélite artificial que orbitasse a Terra em órbita circular cujo raio fosse igual à distância média entre os centros da Terra e da Lua.

Passo 1

Beleza galera, no exercício anterior verificamos a fórmula para o período como:

T = 2 π r 3 G M 1 + M 2

Onde M 1 e M 2 são as massas respectivas dos corpos, enquanto r é a distância entre eles, no nosso caso temos a Terra e a Lua, sendo assim as massas são M T = 5,97 × 10 24   kg e M L = 7,36 × 10 22 kg , e a distância entre os centros de massas é r = 3,844 × 10 8   m . Então de acordo com nossa expressão que calcula o período em relação ao centro de massa do sistema, temos que o período é:

T = 2 π 3,844 × 10 8 3 G 5,97 × 10 24 + 7,36 × 10 22

T = 2   358   545   s

Ou passando para dias, obtemos que:

T L = 27 ,   3   dias

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Passo 2

Agora se a gente for calcular o período usando a distância média, usamos a expressão:

T = 2 π ω

Onde ω é a velocidade angular, que podemos relacionar com a velocidade linear v e o raio R , que é a distância média da Terra a Lua, tal que:

ω = v R

E essa velocidade v é a velocidade linear que a Lua possui, e essa velocidade é famosíssima velocidade orbital, ou seja, é a velocidade que a Lua deve possuir para entrar em órbita naquela distância, e pra isso nós temos uma expressão:

v = G M R

Onde M é a massa da Terra, dessa maneira a velocidade angular será:

ω = G M R R

E passando o denominador R pra dentro da raiz, obtemos:

ω = G M R 3

E jogando tudo isso na expressão inicial do período, obtemos:

T = 2 π G M R 3

T = 2 π R 3 G M

Passo 3

Então se a gente, substituir os valores a expressão do período, vamos obter:

T = 2 π 3,844 × 10 8 3 6,67 × 10 - 11 5,97 × 10 24

T = 2   373   039   s

Ou em dias:

T = 27,47   dias

Então a variação do período, de uma expressão para outra é:

∆ T = T - T L

∆ T = 2   373   039 - 2   358   545

∆ T = 14   494   s

Ou seja:

∆ T = 1,45 × 10 4   s

Resposta

∆ T = 1,45 × 10 4   s

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