Enunciado

116. A aberração esférica faz a imagem de um espelho esférico ficar borrada. Ela ocorre porque os raios paralelos que atingem o espelho em pontos afastados do eixo ótico são focalizados em pontos diferentes do foco produzido pelos raios paralelos paraxiais. Esse problema pode ser minimizado usando-se apenas a seção central do espelho esférico. a ) Mostre que, para um espelho esférico côncavo, o foco se aproxima do vértice à medida que os

raios paralelos se afastam do eixo ótico. (Sugestão: deduza uma expressão analítica para a distância entre o vértice e o foco de um dado raio paralelo ao eixo ótico. Essa expressão deve depender i ) do raio de curvatura R do espelho e i i ) do ângulo de incidência θ compreendido entre a direção do raio incidente e a reta que une o centro do espelho com o ponto de incidência do raio.) b ) Qual é o valor de θ que produz uma variação de 2 % na localização do

foco, em comparação com o foco formado quando θ é aproximadamente igual a zero?

Passo 1

Então galera para começarmos a resolver esse problema vamos montar um diagrama que representa essa situação, assim temos o seguinte:

A parti desse diagrama vamos poder analisar o problema e resolver o item ( a ) .

Para encontrar o que é pedido no item ( b ) como temos porcentagem, podemos expressar isso da seguinte forma:

f 0 - f f 0 = 0,02

Onde temos f 0 como sendo 100 % e a distância focal para θ = 0 .

Passo 2

Agora vamos analisar nosso diagrama, para conseguirmos definir algo ou encontrar igualdades entre os parâmetros e assim encontrar a expressão analítica.

Primeiro vamos aplicar a lei dos senos para o triangulo maior que temos no nosso diagrama, assim temos:

sen ⁡ θ ( R - f ) = sen ⁡ α g

Disso encontramos que:

R - f = g

Agora vamos fazer o seguinte, vamos dividir esse triangulo ao meio cortando R ao meio, assim podemos fazer o seguinte, que

cos ⁡ θ = R / 2 g

Mas como vimos mais acima que R - f = g , assim temos que:

cos ⁡ θ = R / 2 R - f

Com essa expressão podemos isolar f , assim:

R cos ⁡ θ - f cos ⁡ θ = R 2

⇒ f = R - R 2 cos ⁡ θ

⇒ f = R 2 2 - 1 cos ⁡ θ

Pronto, encontramos a expressão analítica com o enunciado queria.

Passo 3

Agora vamos partir para o item ( b ) , temos o seguinte:

f 0 - f f 0 = 0,02

⇒ 1 - f f 0 = 0,02

⇒ f f 0 = 1 - 0,02

Então temos que:

f f 0 = 0,98

Agora se pegarmos a expressão que chegamos e definirmos f 0 = R / 2 que é a distância focal que encontramos para θ = 0 nessa expressão e fizermos f / f 0 , temos o seguinte:

f f 0 = 2 - 1 cos ⁡ θ

Juntando tudo temos que:

2 - 1 cos ⁡ θ = 0,98

⇒ 1 cos ⁡ θ = 1,02

⇒ cos ⁡ θ = 0,98

Então temos que:

θ = 11,48 °

Resposta

( a )

f = R 2 2 - 1 cos ⁡ θ

( b )

θ = 11,48 °

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um pedaço de uma fina casca esférica com raio de curvatura de 100 cm é metalizada nos dois lados. O lado côncavo da peça forma uma imagem real de 75 cm dela. A peça é, então, virada e seu lado convexo
a) Use a equação dos espelhos (Equação 32-4 onde f = r / 2 ) para calcular as distâncias imagem para as distâncias objeto e para o espelho do Problema 24.b) Calcule a ampliação para cada distância obj
Um espelho convexo tem raio de curvatura igual a 24 cm. Use diagramas de raios para localizar a imagem, se ela existir, para um objeto próximo ao eixo de distâncias dea) 55 cm.b) 24 cm.c) 12 cm. d) 8,
Dois raios de luz paralelos ao eixo óptico de um espelho côncavo atingem o espelho como mostrado na Figura 32-59. O espelho tem um raio esférico que está a 2,0 m do espelho maior. Os raios de luz fina
Enquanto voce estaciona seu carro,voce ve uma pessoa correndo atraves de seu espelho retrovisor,o qual e convexo e tem raio de curvatura cuja magnitude e igual a 2,00m.Ocorredor esta a 5,00 m do espel