Enunciado

93. Duas hastes delgadas, cada uma delas com massa m e comprimento L , são conectadas perpendicularmente de modo a formarem um objeto em forma de L . Esse objeto é equilibrado no topo de uma aresta aguda (Figura 13.41 ). Quando o objeto em forma de L é deslocado ligeiramente, ele oscila. Ache a frequência da oscilação.

Passo 1

Nessa situação descrita pelo enunciado, podemos considerar que o objeto formado pelas duas hastes é um pêndulo físico, assim temos que a frequência pode ser encontrada usando a seguinte fórmula:

f = 1 2 π m g d I

Para dois fatores dessa fórmula é possível achar uma expressão para eles, que são o d , que é a distância do pivô até o centro de massa do objeto, e o I que é o momento de inércia do objeto.

O momento de inércia desse objeto pode ser a soma do momento das duas hastes separadamente, já que o momento de uma haste em relação a um eixo passando pela sua extremidade é dado por:

I 0 = 1 3 M L 2

Então o momento de inércia do objeto é dado pela soma dos momentos:

I = I 0 + I 0

= 1 3 M L 2 + 1 3 M L 2

= 2 3 M L 2

Agora a distância d como foi dito lá em cima é a distância do pivô até o centro de massa. Se você repara nosso objeto é a metade de um quadrado, no qual tem o centro de massa no centro, a metade vai reduzir na metade a posição do centro de massa em relação a uma quina.

Assim a distância da quina do quadrado até o seu centro de massa é a metade da distância da quina do quadrado até o centro, então:

d = L 2 2 2

⇒ d = L 2 4

Passo 2

Agora que já encontramos uma expressão para I e uma para d , podemos substituir elas na fórmula da frequência, lembrando que m = 2 M que é massa total assim:

f = 1 2 π m g d I

⇒ f = 1 2 π 2 M g L 2 4 2 3 M L 2

= 1 2 π ( 3 ) 2 g 2 ( 4 ) ( 2 ) L

Assim, temos:

f = 1 4 π 6 g 2 2 L

Simplificando mais um pouco, temos:

f = 1 4 π 3 g 2 L

Resposta

f = 1 4 π 3 g 2 L

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