Enunciado

12.59. a) Suponha que você esteja no equador da Terra e observe um satélite passando bem em cima de sua cabeça e movendo-se de oeste para leste no céu. Exatamente 12,0 horas depois você vê esse satélite sobre sua cabeça outra vez. A que distância da superfície da Terra está a órbita do satélite? (b) Você vê outro satélite bem em cima da sua cabeça e seguindo de leste para oeste. Esse satélite está novamente sobre sua cabeça em 12,0 horas. A que distância da superfície da Terra está a órbita desse satélite?

Passo 1

Nesse exercício é importante lembrar que a Terra também está em movimento, ela rotaciona no mesmo sentido que o satélite do item (a). Quer dizer, quando o satélite está sobre sua cabeça novamente ele não completou uma órbita.

Vamos lá. O satélite está em um ponto da Terra, exatamente acima do ponto onde você está. Depois de 12 horas você está maio perímetro a frente do ponto que você estava e o satélite está novamente na sua cabeça. Isso quer dizer que em 12 horas o satélite completou uma volta e meia ao redor da Terra.

Com essas informações a gente pode calcular a velocidade do satélite.

A velocidade vai ser a distância que o satélite percorreu dividido pelo tempo que ele fez esse percurso. O satélite deu uma volta e meia na Terra, ou seja, ele percorreu a distância de um perímetro e meio, e fez isso em 12 horas. Vamos colocar isso no SI

12   h → 43200   s

Então

v = 1,5 ( 2 π r ) t

É importante a gente ter a velocidade, porque sabemos que

G M m r 2 = m v 2 r

Então

G M r 2 = 1 r 1,5 2 π r t 2

Isso vai dar

G M r 2 = 1,5 2 π t 2 r

Isolando r

r 3 = G M 1,5 2 π t 2

r = G M 1,5 2 π t 2 3

Passo 2

Agora é só substituir os valores.

r = 6,6742 ⋅ 10 - 11 5,97 ⋅ 10 24 1,5 2 π 43200 2 3

Isso vai dar

r = 2,03 ⋅ 10 7   m

Mas essa é a distância do centro da Terra. Para achar a distância até a superfície da Terra, precisamos subtrair o raio

d = r - R

d = 2,03 ⋅ 10 7 - 6,38 ⋅ 10 6 = 1,392 ⋅ 10 7   m

Passo 3

Agora vamos para o item (b). Nesse item o satélite está girando ao contrário da direção da Terra. Então o satélite da meia volta ao redor da Terra até estar sobre sua cabeça de novo.

v = 0 , 5 ( 2 π r ) t

Logo

r = G M 0 , 5 2 π t 2 3

Substituindo os valores

r = 6,6742 ⋅ 10 - 11 5,97 ⋅ 10 24 0 , 5 2 π 43200 2 3

r = 4,22 ⋅ 10 7   m

Seguindo o mesmo procedimento do item anterior, vamos calcular a distância da superfície.

d = r - R

d = 4,22 ⋅ 10 7 - 6,38 ⋅ 10 6 = 3,582 ⋅ 10 7   m

Resposta

  1. d = 1,392 ⋅ 10 7   m
  2. d = 3,582 ⋅ 10 7   m
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