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Um projétil é lançado verticalmente para cima a partir da superfície da Terra. Despreze a rotação da Terra. Em múltiplos do raio da Terra R T , que distância o projétil atinge se (a) sua velocidade inicial é 0,500 da velocidade de escape da Terra e (b) sua energia cinética inicial é 0,500 da energia cinética necessária para escapar da Terra? (c) Qual é a menor energia mecânica inicial necessária para que o projétil escape da Terra?

Passo 1

Queremos saber até onde vai um projétil lançado, da superfície da Terra, com uma certa velocidade.

A velocidade inicial é 0,500 = 1 2 da energia cinética necessária para escapar da Terra. Ou seja, metade da energia cinética suficiente para igualar a energia potencial gravitacional que o projétil possui na superfície da Terra:

K i n i c i a l = 1 2 .   U s u p e r f í c i e = G . M . m 2 . R T

Agora, vamos aplicar a lei de conservação de energia:

K i n i c i a l + U i n i c i a l = K f i n a l + U f i n a l

Sabendo que, para atingir a altura máxima, o projétil deverá ter K f i n a l = 0 e que o projétil é lançado da superfície da Terra:

K i n i c i a l - G . M . m R T = - G . M . m R m a x

Substituindo o valor que encontramos para K i n i c i a l :

G . M . m 2 . R T - G . M . m R T = - G . M . m R m a x

Cortando o produto G . M . m :

1 2 . R T - 1 R T = - 1 R m a x

Colocando 1 R T em evidência:

1 R T . 1 2 - 1 = - 1 2 R T = - 1 R m a x

Finalmente:

R m a x = 2 . R T

Resposta

(b) R m a x = 2 . R T

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