Enunciado

12.60. O planeta X gira, do mesmo modo que a Terra, ao redor de um eixo que passa por seus polos norte e sul, e é perfeitamente esférico. Um astronauta que pesa 943,0 N na Terra pesa 915,0 N no polo norte do Planeta X, e apenas 850,0 N em seu equador. A distância do polo norte ao equador é 18850 km, medidos ao longo da superfície do planeta X. a) Qual a duração do dia no Planeta X? b) Se um satélite de 45000 kg for colocado em uma órbita circular de 2000 km acima da superfície do Planeta X, qual será seu período orbital?

Passo 1

A gente quer descobrir o tempo do dia no planeta, ou seja, o período de um ponto no equador. A gente pode encontrar da seguinte forma

T = 2 π R v

Mas antes temos que descobrir o raio e a velocidade.

O enunciado nos diz que a distância entre um ponto do equador e o polo norte é 18850000   m , mas é interessante notar que a distância entre esses pontos também é 1 4 do perímetro do planeta. Sendo assim temos

1 4 2 π R = 18850000

Então a gente pode descobrir o raio do planeta

R = 4 ⋅ 18850000 2 π = 1,2 ⋅ 10 7   m

Passo 2

Agora a gente pode calcular a força centrípeta na linha do equador. A força centrípeta vai ser igual a diferença de peso que existe entre o peso do astronauta no polo norte e na linha do equador

F C = F g - F e

Então

m v 2 R = F g - F e

Mas da primeira equação a gente pode achar uma relação entre o período e a velocidade

v = 2 π R T

Então

m R 2 π R T 2 = F g - F e

Agora todo trabalho vai ser isolar o período

2 π T 2 = F g - F e m R

Agora a gente inverte

T 2 4 π 2 = m R F g - F e

E finalmente

T = 4 π 2 m R F g - F e

O único valor que desconhecemos é a massa do astronauta, mas como a gente sabe o peso dele na Terra, não vai ser difícil calcular

m = P g = 943 9,81 = 96,13   k g

Agora é só substituir os valores

T = 4 π 2 93,13 1,2 ⋅ 10 7 915 - 850

Logo

T = 26053,05   s

Vamos passar isso para horas

T = 26053,05 3600 = 7,23   h

Passo 3

Agora vamos para o item (b). Para achar a velocidade do satélite, a gente vai precisar da massa do planeta. A gente consegue encontrar através da equação

F = G M m R 2

A gente sabe o peso do astronauta na superfície do planeta, a massa dele e o raio do planeta, então é só isolar a massa do planeta

M = F R 2 G m

Substituindo os valores

M = 915 1,2 ⋅ 10 7 2 6,6742 ⋅ 10 - 11 96,13

Fazendo essa conta

M = 2,05 ⋅ 10 25   k g

Agora para calcular o período orbital do satélite, é só assumir que a força gravitacional é igual a força centrípeta

F g = F c

Então

G M m r 2 = m v 2 r

Mas lá no item anterior a gente já tinha achado uma relação entre a velocidade e o período, que é

v = 2 π r T

Então

G M m r 2 = m r 2 π r T 2

De novo, só precisamos isolar o período.

G M m r 2 = m r 2 π T 2

A gente pode cortar m , e inverter a equação

T 2 π 2 1 r   = r 2 G M

Agora vamos isolar T 2

T 2 = 4 π 2 r 3 G M

Passando a raiz

T = 2 π r 3 G M

Substituindo os valores

T = 2 π 1,2 ⋅ 10 7 + 2000000 3 6,6742 ⋅ 10 - 11 ⋅ 2,05 ⋅ 10 25

Fazendo essa continha

T = 8898   s

Passando isso para horas

T = 8898 3600 = 2,47   h

Resposta

  1. 7,23   h
  2. 2,47   h
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