Enunciado

12.61. Existem duas equações a partir das quais você pode calcular uma variação da energia potencial gravitacional U do sistema constituído por um corpo de massa m e a Terra. Uma delas é U=mgy(7.2). A outra é U = - G M m r (12.9). Como mostramos na seção 12.3, a primeira equação é correta semente quando a força gravitacional for constante ao longo da variação da altura Δ y . A segunda é sempre correta. Na realidade, a força gravitacional nunca é exatamente constante ao longo de qualquer variação de altura, porém, quando a variação for pequena, podemos desprezá-la. Calcule a diferença de U usando as duas formulas para uma diferença de altura h acima da superfície terrestre e ache o valor de h para o qual a Equação (7.2) fornece um erro de 1%. Expresse esse valor de h como uma fração do raio da Terra, e obtenha também seu valor numérico.

Passo 1

Bem, vamos calcular para as duas equações. Vale lembrar que dentro do g da equação 12.7 está o raio da Terra. De acordo com enunciado

Δ y = h

U = m g h

Essa é a primeira equação. Vamos para a segunda

U 1 = - G M m R + h + G M m R

Isso vai dar

U 2 = G M m 1 R - 1 R + h

Passo 2

Agora temos que achar para qual altura h a equação 12.7 fornece 1 % de erro. Ou seja

1 - U 1 U 2 = 0,01

Vamos substituir os valores

1 - m g h G M m 1 R - 1 R + h = 0,01

Agora a gente tem que isolar h

- g h G M 1 R - 1 R + h = 0,01 - 1

Aqui facilita bastante as contas se a gente lembrar como se calcula g

g = G M R 2

Então

1 - G M R 2 h G M 1 R - 1 R + h = 0,01

A gente pode cortar G M

1 - h R 2 1 R - 1 R + h = 0 , 01

A gente pode colocar 1 R em evidencia

1 - h R 1 - R R + h = 0,01

Agora vamos colocar 1 R + h   em evidencia

1 - h R R + h   R + h - R = 0,01

E aí vamos finalmente chegar em

1 - R + h R = 0,01

Ai a gente coloca 1 R em evidencia de novo

1 R R - R + h = 0,01

Então

h R = 0,01

Agora é só isolar h para escrevermos a altura em termos do raio da Terra

h = 0,01 R

Passo 3

Agora vamos obter o valor numericamente. Basta substituir os valores

h = 0,01 ⋅ 6,38 ⋅ 10 6

Isso vai dar

h = 63800   m

Resposta

h = 0,01 R

h = 63800   m

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