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13.10P Quando forçado pela mola, a roda vista na Figura 13.16 rola sobre o piso, girando em torno de seu eixo. Calcule a frequência de oscilação do sistema.

Passo 1

Show de bola galerinha, o enunciado pede pra gente calcular a frequência de oscilação do sistema apresentado na figura:

Mas beleza, a frequência do movimento v é dada pela relação:

v = 1 T

Onde T é o período do movimento, que pode ser expresso através da relação com a velocidade angular ω :

T = 2 π ω

Ou seja, descobrimos que na verdade a frequência pode ser expressa em termos de ω :

v = ω 2 π

Logo, precisamos na verdade encontrar essa tal velocidade angular ω .

Passo 2

Mas saca só a sagacidade, o enunciado nos diz que quando forçado pela mola a roda rola pelo chão girando em torno de seu eixo, e se ela rola, então sabemos que é sem deslizar. Isso quer dizer que quem causa o movimento na roda, é a força elástica produzida pela mola:

F e l = - k x

MAAAASSSS, como a roda está rolando pelo chão, quer dizer que existe uma força de atrito F a t oposta ao movimento e a força elástica que causa o torque necessário para colocar a roda em rolamento:

E como essa força de atrito exerce o torque em relação a um raio R da roda, temos que:

τ = R × F a t

Só que o torque também pode ser expresso através da fórmula:

τ = I α

Onde α é a aceleração angular e I é o momento de inércia da roda. Nesse caso, a aceleração angular α pode ser relacionado com a aceleração linear a pela relação α = a / R . Dessa maneira, se a gente igualar os torques, teremos que:

R × F a t = I a R

Logo a força de atrito é:

F a t = I R 2 a

Passo 3

E como só temos a força elástica e a força de atrito atuando no sistema, a força resultante será:

F R = F e l - F a t

Logo, dada aceleração resultante a , temos:

F e l - F a t = M a

Iradoso, então se a gente substituir as informações que a gente encontrou, vamos ter que:

- k x - I R 2 a = M a

Mas calma lá chefia, porque agora vem o golpe final. Lembra que esse sistema está oscilando?! Então, isso quer dizer que ele obedece às equações do movimento harmônico simples, para posição e aceleração, tal que:

x = x m cos ⁡ ω t + ϕ a = - ω 2 x m cos ⁡ ω t + ϕ

Então substituindo essas expressões, na nossa equação, temos que:

- k x - I R 2 a = M a

- k x m cos ⁡ ω t + ϕ - I R 2 - ω 2 x m cos ⁡ ω t + ϕ = M - ω 2 x m cos ⁡ ω t + ϕ

Logo, como x m cos ⁡ ω t + ϕ se repete em todos os elementos, podemos cortar ele da equação, tal que:

- k + I R 2 ω 2 = - M ω 2

Logo, isolando a velocidade angular ω , teremos:

ω 2 M + I R 2 = k

ω = k M + I R 2

Passo 4

Mas calma lá jovem mancebo, ainda não acabou. Porque incialmente queríamos encontrar a frequência v de oscilação, e descobrimos que ela era dada em função da velocidade ω :

v = ω 2 π

E agora que encontramos essa velocidade angular, temos que a frequência será:

v = 1 2 π k M + I R 2

Resposta

v = 1 2 π k M + I R 2

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